Олимпиадные задачи из источника «глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия»

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника<i>M</i>. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий. а) Докажите, что если<i>M</i> — выпуклый<i>n</i>-угольник, где<i>n</i>$\ge$7, то паркет сложить нельзя. б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

а) Можно ли квадрат6×6 замостить костями домино1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей? б) Докажите, что любой прямоугольник<i>m</i>×<i>n</i>, где<i>m</i>и<i>n</i>больше 6 и<i>mn</i>четно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак. в) Докажите, что прямоугольник6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.

Прямоугольник покрыт в два слоя карточками1×2 (над каждой клеткой лежат ровно две карточки). Докажите, что карточки можно разбить на два непересекающихся множества, каждое из которых покрывает весь прямоугольник.

Прямоугольник размером2<i>n</i>×2<i>m</i>замостили костями домино1×2. Докажите, что на этот слой костей можно положить второй слой так, что ни одна кость второго слоя не совпадает с костью первого слоя.

Вырежьте из обычной шахматной доски одну клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было замостить плитками размером1×3.

Из шахматной доски со стороной а) 2ⁿ; б) 6<i>n</i>+ 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58277/problem_58277_img_2.gif" border="1"></div>

Прямоугольник размером<i>m</i>×<i>n</i>замощен плитками, изображенными на рис. Докажите, что<i>m</i>и<i>n</i>делятся на 4.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58276/problem_58276_img_2.gif" border="1"></div>

Замостите обычную шахматную доску плитками, изображенными на рис.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58275/problem_58275_img_2.gif" border="1"></div>

На круглом столе радиуса<i>R</i>расположено без наложений<i>n</i>круглых монет радиуса<i>r</i>, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что<i>R</i>/<i>r</i>$\le$2$\sqrt{n}$+ 1.

Докажите, что любые<i>n</i>точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше<i>n</i>и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

Длина проекции фигуры$\Phi$на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что$\Phi$можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?

Прожектор освещает угол величиной90^<tt>o</tt>. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9. б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

Докажите, что плоскость можно разбить на отрезки.

Докажите, что круг можно разбить на отрезки.

Докажите, что треугольник можно разбить на отрезки.

Докажите, что четырехугольник (с границей и внутренностью) можно разбить на отрезки, т. е. представить в виде объединения непересекающихся отрезков.

Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число.

а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник. б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части. Одну из полученных частей разрезают на две части, и так делают несколько раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось 100 двадцатиугольников?

Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?