Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения»
глава 8. Построения
НазадДан отрезок <i>OA</i>, параллельный прямой <i>l</i>. С помощью прямого угла постройте точки, в которых окружность радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>пересекает прямую <i>l</i>.
Даны отрезок <i>AB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>O</i>на ней. С помощью прямого угла постройте на прямой <i>l</i>такую точку <i>X</i>, что <i>OX</i>=<i>AB</i>.
Даны угол <i>AOB</i>и прямая <i>l</i>. С помощью прямого угла проведите прямую <i>l</i><sub>1</sub>так, что угол между прямыми <i>l</i>и <i>l</i><sub>1</sub>равен углу <i>AOB</i>.
Дан угол <i>AOB</i>. С помощью прямого угла постройте: а) угол, вдвое больший угла <i>AOB</i>; б) угол, вдвое меньший угла <i>AOB</i>.
Дан отрезок <i>AB</i>. С помощью прямого угла постройте: а) середину отрезка <i>AB</i>; б) отрезок <i>AC</i>, серединой которого является точка <i>B</i>.
С помощью прямого угла проведите через данную точку <i>A</i>прямую, параллельную данной прямой <i>l</i>.
Даны отрезки <i>O</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>2</sub>. С помощью одной двусторонней линейки постройте радикальную ось окружностей радиуса <i>O</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>2</sub>с центрами <i>O</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub>соответственно.
Даны прямая <i>l</i>и отрезок <i>OA</i>, параллельный <i>l</i>. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>.
Даны отрезок <i>AB</i>, непараллельная ему прямая <i>l</i>и точка <i>M</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>AB</i>с центром <i>M</i>.
Даны угол <i>AOB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки проведите через точку <i>P</i>прямые, образующие с прямой <i>l</i>угол, равный углу <i>AOB</i>.
С помощью одной двусторонней линейки: а) через данную точку проведите прямую, параллельную данной прямой; б) постройте середину данного отрезка.
С помощью одной двусторонней линейки восставьте перпендикуляр к данной прямой <i>l</i>в данной точке <i>A</i>.
Выполните построения с помощью линейки с двумя параллельными краями (двусторонней линейки) без циркуля. а) Постройте биссектрису данного угла <i>AOB</i>. б) Дан острый угол <i>AOB</i>. Постройте угол <i>BOC</i>, биссектрисой которого является луч <i>OA</i>.
Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность <i>S</i>и ее центр <i>O</i>, то с помощью одной линейки можно: а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр; б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку; в) построить отрезок длиной <i>ab</i>/<i>c</i>, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины данных отрезков; г) построить точки пересечения данной прямой <i>l</i>с окружностью, центр которой — данная точка <i>A</i>, а радиус равен длине данного отрезка; д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.
Даны окружность, ее диаметр <i>AB</i>и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>перпендикуляр к прямой <i>AB</i>.
Даны две параллельные прямые и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>прямую, параллельную данным прямым.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите отрезок, лежащий на одной из них, на <i>n</i>равных частей.
Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.
На окружности радиуса <i>a</i>дана точка. С помощью монеты радиуса<i>a</i>постройте точку, диаметрально противоположную данной.
Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок <i>AB</i>. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)
С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол, вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и линейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.
Докажите, что угол величиной <i>n</i><sup><tt>o</tt></sup>, где <i>n</i> — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на <i>n</i>равных частей с помощью циркуля и линейки.
Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>на нем. Постройте на этой окружности точки <i>X</i>и <i>Y</i>, симметричные относительно прямой <i>AB</i>, так, чтобы прямые <i>AX</i>и <i>YC</i>были перпендикулярными.