Задача
ВершиныAиBтреугольникаABCскользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если уголCне прямой, то вершинаCперемещается при этом по эллипсу.
Решение
Пусть вершинаAскользит по осиOx, а вершинаB— по осиOy. Опустим из вершиныCвысотуCHна сторонуAB. ПустьAH=q,CH=hи$\angle$BAO = φ. Тогда точкаCимеет координаты
x = h sin$\displaystyle \varphi$ + (c - q)cos$\displaystyle \varphi$, y = q sin$\displaystyle \varphi$ + h cos$\displaystyle \varphi$.
Поэтому согласно задаче 31.062точкаCдвижется по кривой
(q2 + h2)x2 - 2chxy + (h2 + (c - q)2)y2 = (h2 - q(c - q)).
Поэтому еслиh2 ≠ q(c-q), то точкаCдвижется по эллипсу.
УголCпрямой тогда и только тогда, когда(h2+q2) + (h2+ (c-q)2) =c2, т.е.h2=q(c-q).
Замечание. Если угол Cпрямой, то точкаCдвижется по отрезку
(см. задачу 2.5).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет