Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения»

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Квадрат <i>ABCD</i>вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков <i>PQ</i>, где <i>P</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i>на неподвижную прямую <i>l</i>, а <i>Q</i> — середина стороны <i>AB</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>прямой. Докажите, что при гомотетии с центром <i>C</i>и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>перпендикулярны. Хорда <i>EA</i>пересекает диаметр <i>CD</i>в точке <i>K</i>, хорда <i>EC</i>пересекает диаметр <i>AB</i>в точке <i>L</i>. Докажите, что если <i>CK</i>:<i>KD</i>= 2 : 1, то <i>AL</i>:<i>LB</i>= 3 : 1.

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (<i>x</i>₁,<i>y</i>₁) и (<i>x</i>₂,<i>y</i>₂) равна${\frac{1}{2}}$|<i>x</i>₁<i>y</i>₂–<i>x</i>₂<i>y</i>₁|. б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (<i>x</i>₁,<i>y</i>₁), (<i>x</i>₂,<i>y</i>₂) и (<i>x</i>₃,<i>y</i>₃) равна&lt...

Докажите, что расстояние от точки (<i>x</i>₀,<i>y</i>₀) до прямой<i>ax</i>+<i>by</i>+<i>c</i>= 0 равно${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Пусть <i>A</i>₄ — ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что существуют такие числа $\lambda_{1}^{}$,...,$\lambda_{4}^{}$, что <i>A</i>_i<i>A</i>_j²=$\lambda_{i}^{}$+$\lambda_{j}^{}$, причем, если треугольник не прямоугольный, то $\sum$(1/$\lambda_{i}^{}$) = 0.

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника <i>ABC</i>равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника <i>ABC</i>.

Продолжения биссектрис треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>S</i>_ABC/<i>S</i>_A₁B₁C₁= 2<i>r</i>/<i>R</i>, где <i>r</i>и <i>R</i> — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если <i>ctg</i>($\alpha$/2) = (<i>b</i>+<i>c</i>)/<i>a</i>, то треугольник прямоугольный.

Вписанная окружность касается стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точке <i>K</i>. Докажите, что площадь треугольника равна <i>BK</i>^.<i>KCctg</i>($\alpha$/2).

Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах <i>AD</i>и <i>BC</i>прямоугольника <i>ABCD</i>. Эти окружности касаются друг друга и прямых <i>AB</i>и <i>CD</i>так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой <i>AB</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57650/problem_57650_img_2.gif" border="1"></div>

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>и на отрезках <i>AC</i>,<i>BC</i>и <i>AB</i>как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой <i>AB</i>. Через точку <i>C</i>проведена прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, и в образовавшиеся криволинейные треугольники <i>ACD</i>и <i>BCD</i>вписаны окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57649/problem_57649_img_2.gif" border="1"></div>

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние <i>h</i>. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57646/problem_57646_img_2.gif" border="1"></div>

Пусть <i>E</i> — середина стороны <i>AB</i>квадрата <i>ABCD</i>, а точки <i>F</i>и <i>G</i>выбраны на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>так, что <i>AG</i>|<i>EF</i>. Докажите, что отрезок <i>FG</i>касается окружности, вписанной в квадрат <i>ABCD</i>.

Окружность <i>S</i>с центром <i>O</i>на основании <i>BC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>касается равных сторон <i>AB</i>и <i>AC</i>. На сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>так, что отрезок <i>PQ</i>касается окружности <i>S</i>. Докажите, что тогда 4<i>PB</i>^.<i>CQ</i>=<i>BC</i>².

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>отрезки <i>BO</i>и <i>CO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках <i>D</i>и <i>E</i>со сторонами <i>AC</i>и <i>AB</i>. Оказалось, что $\angle$<i>BDE</i>= 50^<tt>o</tt>и $\angle$<i>CED</i>= 30^<tt>o</tt>. Найдите величины углов треугольника <i>ABC</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>угол при вершине <i>B</i>равен 20^<tt>o</tt>. На сторонах <i>BC</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>D</i>и <i>E</i>соответственно так, что $\angle$<i>DAC</i>= 60^<tt>o</tt>и $\angle$<i>ECA</i>= 50^<tt>o</tt>. Найдите угол <i>ADE</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30°  и  ∠<i>MCB</i> = 10°.  Найдите величину угла <i>AMC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведена биссектриса <i>BE</i>и на стороне <i>BC</i>взята точка <i>K</i>так, что $\angle$<i>AKB</i>= 2$\angle$<i>AEB</i>. Найдите величину угла <i>AKE</i>, если $\angle$<i>AEB</i>=$\alpha$.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>вдвое больше угла <i>A</i>и <i>b</i>= 2<i>a</i>. Найдите углы этого треугольника.