Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек»

Точки <i>M</i>и <i>N</i>таковы, что <i>AM</i>:<i>BM</i>:<i>CM</i>=<i>AN</i>:<i>BN</i>:<i>CN</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i>проходит через центр <i>O</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Прямая <i>l</i>пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Докажите, что множество точек <i>X</i>, обладающих тем свойством, что <i>k</i>₁<i>A</i>₁<i>X</i>²+ ... +<i>k</i>_n<i>A</i>_n<i>X</i>²=<i>c</i>: а) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n$\ne$0 является окружностью или пустым множеством; б) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n= 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>P</i> — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников <i>PAB</i>,<i>PBC</i>и <i>PCA</i>на прямые <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, пересекаются в одной точке.

На прямой <i>l</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁и из вершин треугольника <i>ABC</i>на эту прямую опущены перпендикуляры <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\overline{A_1B_1}$:$\overline{B_1C_1}$=$\overline{A_2B_2}$:$\overline{B_2C_2}$(от...

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>ABC</i>на соответствующие стороны треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁на соответствующие стороны треугольника <i>ABC</i>, тоже пересекаются в одной точке. б) Прямые, проведенные через вершины треугольника <i>ABC</i>параллельно соответствующим сторонам треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>&l...

Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁таковы, что <i>AB</i>₁=<i>AC</i>₁,<i>BC</i>₁=<i>BA</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на стороны <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда <i>A</i>₁<i>B</i>² + <i>C</i>₁<i>A</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² = <i>B</i>₁<i>A</i>² + <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>C</i>₁<i>B</i>² (<i>теорема Карно</i>).

На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдется точка <i>M</i>, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию: каждая прямая, проходящая через точку <i>M</i>, пересекает хотя бы один из этих кругов? Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих такому условию.

Пусть <i>O</i> — центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, проведенная через точку <i>M</i>, пересекает либо отрезок <i>AB</i>, либо отрезок <i>CO</i>.

Найдите ГМТ <i>X</i>, из которых можно провести касательные к данной дуге <i>AB</i>окружности.

Пусть <i>O</i> — центр прямоугольника <i>ABCD</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>$\geq$<i>OM</i>,<i>BM</i>$\geq$<i>OM</i>,<i>CM</i>$\geq$<i>OM</i>и <i>DM</i>$\geq$<i>OM</i>.

Дан четырехугольник <i>ABCD</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>и <i>AD</i><<i>DC</i>. Точка <i>M</i>лежит на диагонали <i>BD</i>. Докажите, что <i>AM</i><<i>MC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>таковы, что для любой четвертой точки <i>M</i>либо <i>MA</i>$\leq$<i>MB</i>, либо <i>MA</i>$\leq$<i>MC</i>. Докажите, что точка <i>A</i>лежит на отрезке <i>BC</i>.

Внутри выпуклого многоугольника взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от <i>Q</i>, чем от <i>P</i>.

Пусть <i>D</i>и <i>E</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>M</i>лежит на стороне <i>AC</i>. Докажите, что если <i>MD</i><<i>AD</i>, то <i>ME</i>><i>EC</i>.

Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие точку <i>O</i>с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.

Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой, причём <i>B</i> находится между <i>A</i> и <i>C</i>.

Найдите геометрическое место таких точек <i>M</i>, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>AMB</i> и <i>CMB</i> равны.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Какую линию описывает середина отрезка <i>PQ</i>, когда секущая вращается вокруг точки <i>A</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите множество центров прямоугольников <i>PQRS</i>, вершины <i>Q</i>и <i>P</i>которых лежат на стороне <i>AC</i>, вершины <i>R</i>и <i>S</i> — на сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>соответственно.

Даны окружность и точка <i>P</i>внутри ее. Через каждую точку <i>Q</i>окружности проведем касательную. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на прямую <i>PQ</i>, и касательная пересекаются в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.