Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности»

Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональным окружностям данного пучка, образует пучок.

Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

Докажите, что гиперболический пучок содержит две предельные точки, параболический — одну, а эллиптический — ни одной.

Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (<i>эллиптический пучок</i>), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (<i>параболический пучок</i>), либо не пересекает радикальную ось (<i>гиперболический пучок</i>).

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i>²+<i>y</i>²+<i>a</i>₁<i>x</i>+<i>b</i>₁<i>y</i>+<i>c</i>₁и<i>g</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i>²+<i>y</i>²+<i>a</i>₂<i>x</i>+<i>b</i>₂<i>y</i>+<i>c</i>₂. Докажите, что для любого вещественного$\lambda$$\ne$1 уравнение<i>f</i>-$\lambda$<i>g</i>= 0 задаёт окружность...

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей. б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.

а) Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Степень точки <i>P</i>окружности <i>S</i>₁относительно окружности <i>S</i>₂равна <i>p</i>, расстояние от точки <i>P</i>до прямой <i>AB</i>равно <i>h</i>, а расстояние между центрами окружностей равно <i>d</i>. Докажите, что |<i>p</i>| = 2<i>dh</i>. б) Степени точек <i>A</i>и <i>B</i>относительно описанных окружностей треугольников <i>BCD</i>и <i>ACD</i>равны <i>p</i>_aи <i>...

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄, причем окружности <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}касаются внешним образом для <i>i</i>= 1, 2, 3, 4 (<i>S</i>₅=<i>S</i>₁). Докажите, что радикальная ось окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₃проходит через точку пересечения общих внешних касательных к <i>S</i>₂и <i>S</i>₄.

Докажите, что диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>описанного шестиугольника <i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).

а) В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Прямые <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>CA</i>и <i>C</i>₁<i>A</i>₁пересекаются в точках <i>C'</i>,<i>A'</i>и <i>B'</i>. Докажите, что точки <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>лежат на радикальной оси окружности девяти точек и оп...

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156522">1.67</a>, используя свойства радикальной оси.

На стороне <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>A'</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>A'B</i>пересекает сторону <i>AB</i>в точке <i>M</i>, а серединный перпендикуляр к отрезку <i>A'C</i>пересекает сторону <i>AC</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что точка, симметричная точке <i>A'</i>относительно прямой <i>MN</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Три окружности попарно пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂, <i>B</i>₁и <i>B</i>₂, <i>C</i>₁и <i>C</i>₂. Докажите, что<i>A</i>₁<i>B</i>₂^.<i>B</i>₁<i>C</i>₂^.<i>C</i>₁<i>A</i>₂=<i>A</i>₂<i>B</i>₁^.<i>B</i><sub>2&lt...

Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>F</i>, а продолжения сторон <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>E</i>. Докажите, что окружности с диаметрами <i>AC</i>,<i>BD</i>и <i>EF</i>имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников <i>ABE</i>,<i>CDE</i>,<i>ADF</i>и <i>BCF</i>.

На сторонах <i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁; <i>l</i> — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁. Докажите, что: а) прямая <i>l</i>проходит через точку <i>H</i>пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) прямая <i>l</i>тогда и только тогда проходит через точку <i>C</i>, когда <i>AB</i>₁:<i>AC</i>=<i>BA</i>₁:<i>BC</i>.

На окружности<i>S</i>с диаметром<i>AB</i>взята точка<i>C</i>, из точки<i>C</i>опущен перпендикуляр<i>CH</i>на прямую<i>AB</i>. Докажите, что общая хорда окружности<i>S</i>и окружности<i>S</i>₁с центром<i>C</i>и радиусом<i>CH</i>делит отрезок<i>CH</i>пополам.

а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой. б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

Даны две неконцентрические окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

Постройте радикальную ось двух непересекающихся окружностей<i>S</i>₁и<i>S</i>₂.

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.

Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.

Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.

На плоскости даны две неконцентрические окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно <i>S</i>₁равна степени относительно <i>S</i>₂, является прямая.