Задача
Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.
Решение
Пусть ромбABCDвписан в эллипс с центром O. Тогда радиус rвписанной окружности ромба равен высоте прямоугольного треугольникаAOB, т. е.
$\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{OA^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{OB^2}}$.
Для эллипса${\dfrac{x^2}{a^2}}$+${\dfrac{y^2}{b^2}}$= 1
прямыеOAиOBимеют уравненияy=kxиy= -x/k, а точкиAиBимеют координаты (x0,y0) и (x1,y1), где
x02$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{k^2}{b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\right)$ = 1, x12$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k^2b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}\right)$ = 1.5000
Поэтому
$\displaystyle {\frac{1}{OA^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{OB^2}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}{1+k^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}{1+\frac{1}{k^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$,
т. е. радиусrне зависит от положения ромба.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет