Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы»

В выпуклом пятиугольнике<i>ABCDE</i>, площадь которого равна <i>S</i>, площади треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDE</i>,<i>DEA</i>и <i>EAB</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>и <i>e</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>² - <i>S</i>(<i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i> + <i>d</i> + <i>e</i>) + <i>ab</i> + <i>bc</i> + <i>cd</i> + <i>de</i> + <i>ea</i> = 0. </div>

Пусть <i>H</i>₁,<i>H</i>₂и <i>H</i>₃ — ортоцентры треугольников<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄,<i>A</i>₁<i>A</i>₃<i>A</i>₄и <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₄. Докажите, что площади треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃и <i>H</i>₁<i>H</i&g...

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка <i>P</i>. Точка <i>Q</i>такова, что<i>CQ</i>||<i>AP</i>, а точка <i>R</i>такова, что<i>AR</i>||<i>BQ</i>и <i>CR</i>||<i>BP</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABC=<i>S</i>_PQR.

Точки <i>P</i>₁,<i>P</i>₂и <i>P</i>₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>P</i>_i,<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>P</i>_i,...,<i>A</i>_{2n - 1}<i>A</i>_2n<i>P</i>_iравна одному и тому...

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).

Пусть<b>a</b>= (<i>a</i>₁,<i>a</i>₂) и <b>b</b>= (<i>b</i>₁,<i>b</i>₂). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i>₁<i>b</i>₂-<i>a</i>₂<i>b</i>₁.

Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$.

Внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nвзята точка <i>O</i>так, что$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Пусть<i>d</i>=<i>OA</i>₁+...+<i>OA</i>_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4<i>d</i>/<i>n</i>при <i>n</i>четном и не меньше4<i>dn</i>/(<i>n</i>²- 1) при <i>n</i>нечетном.

На плоскости даны четыре вектора <b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>и <b>d</b>, сумма которых равна нулю. Докажите, что<div align="CENTER"> |<b>a</b>| + |<b>b</b>| + |<b>c</b>| + |<b>d</b>|$\displaystyle \ge$|<b>a</b> + <b>d</b>| + |<b>b</b> + <b>d</b>| + |<b>c</b> + <b>d</b>|. </div>

Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше <i>d</i>, то его периметр меньше$\pi$<i>d</i>.

Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна <i>L</i>. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше<i>L</i>/$\pi$.

Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.

Даны два набора векторов<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_nи <b>b</b>₁,...,<b>b</b>_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

Пусть <i>O</i>и <i>R</i> — центр и радиус описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>Z</i>и <i>r</i> — центр и радиус его вписанной окружности;<i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что точка <i>Z</i>лежит на отрезке<i>OK</i>, причем<i>OZ</i>:<i>ZK</i>= 3<i>R</i>:<i>r</i>.

Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — длины сторон треугольника<i>ABC</i>,<b>n</b>_a,<b>n</b>_bи <b>n</b>_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>³<b>n</b>_a + <i>b</i>³<b>n</b>_b + <i>c</i>³<b>n</b>_c = 12<i>S</i>^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где <i>S</i...

Пусть<b>a</b>₁,<b>a</b>₂, ...,<b>a</b>_{2n + 1}— векторы длины 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b>₁±<b>a</b>₂±...±<b>a</b>_{2n + 1}знаки можно выбрать так, что|<b>c</b>|$\le$1.

Выпуклый 2<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписан в окружность радиуса 1. Докажите, что<div align="CENTER"> |$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2. </div>

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>,$\alpha$=<i>S</i>_BXC,$\beta$=<i>S</i>_CXAи $\gamma$=<i>S</i>_AXB. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>на произвольную прямую <i>l</i>. Докажите, что длина вектора$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$равна($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)<i>d</i>, где <i>d</i> — расстояние от точки <i>X</i>до прямой <i>l</i>.

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>. а) Пусть <i>S</i>_a — окружность радиуса <i>R</i>с центром в ортоцентре треугольника<i>BCD</i>; окружности <i>S</i>_b,<i>S</i>_cи <i>S</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>пересекаются в одной точке.

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть <i>H</i>_a — ортоцентр треугольника<i>BCD</i>,<i>M</i>_a — середина отрезка<i>AH</i>_a; точки <i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что точки <i>M</i>_a,<i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dсовпадают.