Задача
Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.
Решение
а) Согласно задаче 157080 сумма квадратов расстояний от каждой вершины n-угольника до всех остальных вершин равна 2n. Поскольку квадрат каждой из сторон и диагоналей входит ровно в две из n таких сумм, искомая сумма равна n². б) Достаточно найти сумму расстояний от одной вершины до всех остальных, а затем умножить её на n/2. Пусть O – центр правильного многоугольника A0A1...An–1, φ = π/n. ∠AkOA0 = 2kφ (или 2π – 2kφ), поэтому AkA0 = 2 sin kφ, 
(согласно задаче 161123 б). в) Достаточно найти произведение расстояний от одной вершины до всех остальных, а затем возвести его в степень n/2. Из решения б) получаем
при чётном n = 2m, согласно задаче 161202 б), получаем то же самое: 
то есть A1A0·...·An–1A0 = n.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь