Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум»
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
а) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный<i>n</i>-угольник. б) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный<i>n</i>-угольник.
Треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>и<i>ABC</i><sub>2</sub>имеют общее основание<i>AB</i>и $\angle$<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>=$\angle$<i>AC</i><sub>2</sub><i>B</i>. Докажите, что если|<i>AC</i><sub>1</sub>-<i>C</i><sub>1</sub><i>B</i>| < |<i>AC</i><sub>2</sub>-<i>C</i><sub>2</sub><i>B</i>|, то: а) площадь треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше площади треугольника<i>ABC</i><sub>2</sub>; б) периметр треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше периметра треугольника<i...
а) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный<i>n</i>-угольник. б) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, описанных около данной окружности, наименьший периметр имеет правильный<i>n</i>-угольник.
Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной <i>d</i>, содержащемся в этом отрезке, лежало не больше 1 + 1000<i>d</i><sup>2</sup>точек?
Чему равно наибольшее число клеток шахматной доски размером 8×8, которые можно разрезать одной прямой?
В городе 10 улиц, параллельных друг другу, и 10 улиц, пересекающих их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый автобусный маршрут, проходящий через все перекрестки?
Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $\alpha$. Найдите наибольшее значение $\alpha$.
Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>O</i>не лежат на одной прямой. Проведите через точку <i>O</i>прямую <i>l</i>так, чтобы сумма расстояний от нее до точек <i>A</i>и <i>B</i>была: а) наибольшей; б) наименьшей.
Даны прямая <i>l</i>и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, лежащие по одну сторону от нее. На прямой <i>l</i>берем точку <i>M</i>и в треугольнике<i>PQM</i>проводим высоты<i>PP'</i>и<i>QQ'</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>P'Q'</i>минимальна?
На плоскости даны прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>и <i>B</i>так, чтобы прямая <i>l</i>высекала на ней хорду наименьшей длины.
Внутри окружности с центром <i>O</i>дана точка <i>A</i>. Найдите точку <i>M</i>окружности, для которой угол<i>OMA</i>максимален.
Дан выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.
Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
Многоугольник имеет центр симметрии <i>O</i>. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки <i>O</i>.
Докажите, что среди всех четырехугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник.
На основании<i>AD</i>трапеции<i>ABCD</i>дана точка <i>K</i>. Найдите на основании<i>BC</i>точку <i>M</i>, для которой площадь общей части треугольников<i>AMD</i>и<i>BKC</i>максимальна.
Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?
Трапеция<i>ABCD</i>с основанием<i>AD</i>разрезана диагональю<i>AC</i>на два треугольника. Прямая <i>l</i>, параллельная основанию, разрезает эти треугольники на два треугольника и два четырехугольника. При каком положении прямой <i>l</i>сумма площадей полученных треугольников минимальна?
Диагонали выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника<i>AOB</i>равна 4, а площадь треугольника<i>COD</i>равна 9?
Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.
Дан угол<i>XAY</i>. Концы <i>B</i>и <i>C</i>отрезков<i>BO</i>и<i>CO</i>длиной 1 перемещаются по лучам<i>AX</i>и<i>AY</i>. Постройте четырехугольник<i>ABOC</i>наибольшей площади.
Внутри острого угла<i>BAC</i>дана точка <i>M</i>. Постройте на сторонах<i>BA</i>и <i>AC</i>точки <i>X</i>и <i>Y</i>так, чтобы периметр треугольника<i>XYM</i>был минимальным.
Даны угол<i>XAY</i>и окружность внутри его. Постройте точку окружности, сумма расстояний от которой до прямых<i>AX</i>и<i>AY</i>минимальна.
Проведите через данную точку <i>P</i>, лежащую внутри угла<i>AOB</i>, прямую<i>MN</i>так, чтобы величина<i>OM</i>+<i>ON</i>была минимальной (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах<i>OA</i>и<i>OB</i>).