Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия»
Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
Пусть движение плоскости переводит фигуру<i>F</i>в фигуру<i>F'</i>. Для каждой пары соответственных точек<i>A</i>и<i>A'</i>рассмотрим середину<i>X</i>отрезка<i>AA'</i>. Докажите, что либо все точки<i>X</i>совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную<i>F</i>.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i>=<i>S</i><sub>AC</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>AB</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>BC</sub>является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину2<i>R</i>sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$, где<i>R</i>— радиус описанной окружности,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$— углы данного треугольника.
Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.
Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом.
Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.
Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.
Докажите, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.
На окружности с центром <i>O</i>даны точки<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>, делящие ее на равные дуги, и точка <i>X</i>. Докажите, что точки, симметричные <i>X</i>относительно прямых<i>OA</i><sub>1</sub>,...,<i>OA</i><sub>n</sub>, образуют правильный многоугольник.
Точка <i>A</i>расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку <i>A</i>можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.
Дано <i>n</i>прямых. Постройте<i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.
а) Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого параллельны заданным <i>n</i>прямым. б) Через центр <i>O</i>окружности проведено <i>n</i>прямых. Постройте описанный около окружности<i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
Две прямые пересекаются под углом $\gamma$. Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда$\gamma$/$\pi$ — рациональное число.
Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>; точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> || <i>AB</i> и прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>2</sub> пересекаются в одной точке.
Пусть<i>l</i><sub>3</sub>=<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub>(<i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что<i>S</i><sub>l<sub>3</sub></sub>=<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>2</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub>.
Даны три прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Пусть<i>T</i>=<i>S</i><sub>a</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>b</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>c</sub>. Докажите, что<i>T</i><tt>o</tt><i>T</i> — параллельный перенос (или тождественное отображение).
Даны три прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i><sub>c</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>b</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>a</sub>является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.
а) Прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>параллельны. Докажите, что<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>2</sub></sub>=<i>T</i><sub>2<b>a</b></sub>, где <i>T</i><sub><b>a</b></sub> — параллельный перенос, переводящий <i>l</i><sub>1</sub>в <i>l</i><sub>2</sub>, причем<b>a</b>$\perp$<i>l</i><sub>1</sub>. б) Прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что<i>S</i&g...
В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.
Дана прямая <i>l</i>и две точки <i>A</i>и <i>B</i>по одну сторону от нее. Найдите на прямой <i>l</i>точку <i>X</i>так, чтобы длина ломаной<i>AXB</i>была минимальна.
Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.
Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается сторон<i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>B</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>1</sub>. Докажите, что если<i>AC</i>><i>BC</i>, то<i>AA</i><sub>1</sub>><i>BB</i><sub>1</sub>.