Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Центральная симметрия»
Даны<i>m</i>= 2<i>n</i>+ 1 точек — середины сторон<i>m</i>-угольника. Постройте его вершины.
Через общую точку <i>A</i>окружностей <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>проведите прямую <i>l</i>так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на <i>l</i>окружностями <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>имела заданную величину <i>a</i>.
Даны непересекающиеся хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности и точка <i>J</i>на хорде<i>CD</i>. Постройте на окружности точку <i>X</i>так, чтобы хорды<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на хорде<i>CD</i>отрезок<i>EF</i>, делящийся точкой <i>J</i>пополам.
Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка <i>O</i>, не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм с центром <i>O</i>и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на каждой.
Даны угол и внутри его точки <i>A</i>и <i>B</i>. Постройте параллелограмм, для которого точки <i>A</i>и <i>B</i> — противоположные вершины, а две другие вершины лежат на сторонах угла.
Даны угол<i>ABC</i>и точка <i>D</i>внутри его. Постройте отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке <i>D</i>.
Через данную точку <i>A</i>проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной окружностью, делился точкой <i>A</i>пополам.
На отрезке<i>AB</i>дано <i>n</i>пар точек, симметричных относительно его середины;<i>n</i>точек окрашено в синий цвет, остальные — в красный. Докажите, что сумма расстояний от <i>A</i>до синих точек равна сумме расстояний от <i>B</i>до красных точек.
а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии. б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии. в) Пусть <i>M</i> — конечное множество точек на плоскости. Точку <i>O</i>назовем к почти центром симметриик множества <i>M</i>, если из <i>M</i>можно выбросить одну точку так, что <i>O</i>будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь <i>M</i>?
Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек <i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>и <i>O</i><sub>3</sub>, а затем еще раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернется на место.
а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом. б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.
Даны выпуклый<i>n</i>-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка <i>O</i>внутри его. Докажите, что через точку <i>O</i>нельзя провести более <i>n</i>прямых, каждая из которых делит площадь<i>n</i>-угольника пополам.
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AF</i>и <i>CE</i>. Докажите, что если$\angle$<i>BAF</i>=$\angle$<i>BCE</i>= 30<sup><tt>o</tt></sup>, то треугольник<i>ABC</i>правильный.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>радиуса 1 касаются в точке <i>A</i>; центр <i>O</i>окружности <i>S</i>радиуса 2 принадлежит <i>S</i><sub>1</sub>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается <i>S</i>в точке <i>B</i>. Докажите, что прямая<i>AB</i>проходит через точку пересечения окружностей <i>S</i><sub>2</sub>и <i>S</i>.
Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
Окружность пересекает стороны<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>2</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>2</sub>соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через <i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>2...
Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Дан параллелограмм<i>ABCD</i>и точка <i>M</i>. Через точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>проведены прямые, параллельные прямым<i>MC</i>,<i>MD</i>,<i>MA</i>и <i>MB</i>соответственно. Докажите, что они пересекаются в одной точке.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.
Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.
Даны две концентрические окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Пусть<i>P</i>- середина стороны<i>AB</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если площадь треугольника<i>PDC</i>равна половине площади четырехугольника<i>ABCD</i>, то стороны<i>BC</i>и<i>AD</i>параллельны.
С помощью циркуля и линейки проведите через общую точку <i>A</i> окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.