Олимпиадные задачи из источника «глава 20. Принцип крайнего»
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
Дан выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника<i>A</i><sub>i</sub><i>A</i><sub>i + 1</sub><i>A</i><sub>i + 2</sub>содержит весь многоугольник.
На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.
На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0,<i>m</i>), (<i>n</i>, 0), (<i>n</i>,<i>m</i>), где <i>n</i>и <i>m</i> — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?
На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно покрыть правильным треугольником со стороной$\sqrt{3}$.
На плоскости дано<i>n</i>$\ge$4 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трех из них найдется четвертая (тоже из данных), с которой они образуют вершины параллелограмма, то<i>n</i>= 4.
На столе расположено <i>n</i>картонных и <i>n</i>пластмассовых квадратов, причем никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?
На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.
На плоскости даны 2<i>n</i>+ 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что <i>n</i>из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а <i>n</i> — вне ее.
Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158053">20.8</a>, воспользовавшись понятием выпуклой оболочки.
Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если радиусы вписанных окружностей треугольников<i>ABO</i>,<i>BCO</i>,<i>CDO</i>и <i>DAO</i>равны, то<i>ABCD</i> — ромб.
Докажите, что если центр вписанной окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей, то четырехугольник — ромб.
Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если периметры треугольников<i>ABO</i>,<i>BCO</i>,<i>CDO</i>и <i>DAO</i>равны, то<i>ABCD</i> — ромб.
Многоугольник <i>M'</i>гомотетичен многоугольнику <i>M</i>с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник <i>M'</i>внутрь многоугольника <i>M</i>.
На плоскости расположено <i>n</i>точек, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
На плоскости дано <i>n</i>точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2<i>n</i>- 3.
На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причем через точку пересечения любых двух из них проходит еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр).
Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом <i>k</i>, где 0 <<i>k</i>< 1.
Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении.