Задача
Докажите, что если вершины шестиугольникаABCDEFлежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямыхABиDE,BCиEF,CDиAF) лежат на одной прямой (Паскаль).
Решение
Рассмотрим шестиугольникABCDEF, вершины которого лежат на коникеf= 0. ЧетырехугольникиABCD,AFEDиBEFCвписаны в эту конику, поэтомуfможно представить в любом из следующих видов:
| f = $\displaystyle \lambda_{1}^{}$lABlCD + $\displaystyle \mu_{1}^{}$lADlBC, | (1) |
| f = $\displaystyle \lambda_{2}^{}$lAFlED + $\displaystyle \mu_{2}^{}$lADlEF, | (2) |
| f = $\displaystyle \lambda_{3}^{}$lBElCF + $\displaystyle \mu_{3}^{}$lBClEF. | (3) |
Приравнивая выражения (1) и (2), получаем
$\displaystyle \lambda_{1}^{}$lABlCD - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$lAFlED = ($\displaystyle \mu_{1}^{}$lBC - $\displaystyle \mu_{2}^{}$lEF)lAD.
ПустьX — точка пересечения прямыхABиED. В точкеXобращаются в
нуль функцииlABlCDиlAFlED, а функцияlADв этой
точке в нуль не обращается. Следовательно, в точкеXобращается в
нуль функция$\mu_{1}^{}$lBC-$\mu_{2}^{}$lEF, т. е. точкаXлежит на
прямой$\mu_{1}^{}$lBC=$\mu_{2}^{}$lEF. Аналогично доказывается, что точка
пересечения прямыхCDиAFлежит на прямой$\mu_{1}^{}$lBC=$\mu_{2}^{}$lEF.
Очевидно также, что точка пересечения прямыхBCиEFлежит на прямой$\mu_{1}^{}$lBC=$\mu_{2}^{}$lEF. В результате получаем следующее утверждение.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет