Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники»

Числа$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$, сумма которых равна (<i>n</i>- 2)$\pi$, удовлетворяют неравенствам0 <$\alpha_{i}^{}$< 2$\pi$. Докажите, что существует<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_nс углами$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$при вершинах<i>A</i>₁,...<i>A</i>_n.

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой<i>AB</i>, где <i>A</i>и <i>B</i> — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками <i>A</i>и <i>B</i>, отражается относительно середины отрезка<i>AB</i>. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом<i>n</i>-угольнике?

Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом<i>n</i>> 13 существует<i>n</i>-угольник, для которого это неверно.

Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.

Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают<i>n</i>-угольник, равно<i>n</i>- 2.

Докажите, что сумма внутренних углов любого<i>n</i>-угольника равна(<i>n</i>- 2) 180^<tt>o</tt>.

Докажите, что любой<i>n</i>-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого<i>n</i>-угольника, из которых нельзя провести диагональ?

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.

б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь <i>n</i>-угольник.

Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим180^<tt>o</tt>внутренним углам, не меньше360^<tt>o</tt>.

Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки <i>O</i>виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.

а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку<i>O</i>внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки<i>O</i>на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку<i>O</i>можно выбрать для всех сторон одновременно. б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку<i>O</i>можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку. б) На плоскости дано <i>n</i>выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все <i>n</i>фигур имеют общую точку (<i>теорема Хелли</i>).

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

а) Пусть<i>M</i>— выпуклый многоугольник, площадь которого равна<i>S</i>, а периметр равен<i>P</i>;<i>D</i>— круг радиуса<i>R</i>. Докажите, что площадь фигуры$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>+$\lambda_{2}^{}$<i>D</i>равна<div align="CENTER"> $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$<i>S</i> + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$<i>PR</i> + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$$\displaystyle \pi$<i>R</i>². </div> б) Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>P</i>²/4$\pi$.

Докажите, что<i>S</i>₁₂$\ge$$\sqrt{S_1S_2}$, т.е.$\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$\ge$$\lambda_{1}^{}$$\sqrt{S_1}$+$\lambda_{2}^{}$$\sqrt{S_2}$(Брунн).

Пусть<i>S</i>₁и<i>S</i>₂— площади многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. Докажите, что площадь<i>S</i>($\lambda_{1}^{}$,$\lambda_{2}^{}$) многоугольника$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>₂равна<div align="CENTER"> $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$<i>S</i>₁ + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$<i>S</i>₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$<i>S</i>₂, </div>где<i>S</i>₁₂зависит толь...

а) Докажите, что если<i>M</i>₁и<i>M</i>₂— выпуклые многоугольники, то$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>₂— выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. б) Пусть<i>P</i>₁и<i>P</i>₂— периметры многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. Докажите, что периметр многоугольника$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>&lt...

Пусть<i>A</i>и<i>B</i>— фиксированные точки,$\lambda$и$\mu$— фиксированные числа. Выберем произвольную точку<i>X</i>и зададим точку<i>P</i>равенством$\overrightarrow{XP}$=$\lambda$$\overrightarrow{XA}$+$\mu$$\overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки<i>P</i>не зависит от выбора точки<i>X</i>тогда и только тогда, когда$\lambda$+$\mu$= 1. Докажите также, что в этом случае точка<i>P</i>лежит на прямой<i>AB</i>.

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.