Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники»

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Точки <i>A</i>₁,...,<i>A</i>₆лежат на одной окружности, а точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — на прямых <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₃<i>A</i>₄,<i>A</i>₁<i>A</i>₆и <i>A</i>₄<i>A</i>₅соответственно, причем <i>KL</i>|<i>A</i>₂<i>A</i>₃,<i>LM</i>|<i>A</i>₃<i>A&lt...

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

Две окружности касаются описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в точке<i>K</i>; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны<i>AB</i>в точке<i>M</i>, а другая касается стороны<i>AC</i>в точке<i>N</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит на прямой<i>MN</i>.

Точки <i>A</i>и <i>A</i>₁, лежащие внутри окружности с центром <i>O</i>, симметричны относительно точки <i>O</i>. Лучи <i>AP</i>и <i>A</i>₁<i>P</i>₁сонаправлены, лучи <i>AQ</i>и <i>A</i>₁<i>Q</i>₁тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых <i>P</i>₁<i>Q</i>и <i>PQ</i>₁лежит на прямой <i>AA</i>₁. (Точки <i>P</i>,<i>P</i>₁,<i>Q</i>и <i>Q</i><sub>1</sub&g...

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность с центром<i>O</i>. Точка<i>X</i>такова, что$\angle$<i>BAX</i>=$\angle$<i>CDX</i>= 90^<tt>o</tt>. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника<i>ABCD</i>лежит на прямой<i>XO</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность <i>S</i>; <i>X</i> — произвольная точка, <i>M</i>и <i>N</i> — вторые точки пересечения прямых <i>XA</i>и <i>XD</i>с окружностью <i>S</i>. Прямые <i>DC</i>и <i>AX</i>, <i>AB</i>и <i>DX</i>пересекаются в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>MN</i>и <i>EF</i>лежит на прямой <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁и биссектрисы <i>AA</i>₂и <i>BB</i>₂; вписанная окружность касается сторон <i>BC</i>и <i>AC</i>в точках <i>A</i>₃и <i>B</i>₃. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃пересекаются в одной точке или параллельны.

Даны треугольник<i>ABC</i>и некоторая точка <i>T</i>. Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>T</i>на прямые<i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно, a <i>R</i>и <i>S</i> — основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>A</i>на прямые<i>TC</i>и<i>TB</i>соответственно. Докажите, что точка пересечения <i>X</i>прямых<i>PR</i>и <i>QS</i>лежит на прямой<i>BC</i>.

Точка <i>M</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; <i>R</i> — произвольная точка. Прямые <i>AR</i>,<i>BR</i>и <i>CR</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что точки пересечения прямых <i>MA</i>₁и <i>BC</i>, <i>MB</i>₁и <i>CA</i>, <i>MC</i>₁и <i>AB</i>лежат на одной прямой, проходящей через точку <i>R</i>.

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка <i>O</i>равноудалена от вершин этого многоугольника.

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины? Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Для каких <i>n</i>существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа?

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Около окружности описан <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_n; <i>l</i> — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины <i>n</i>-угольника. Пусть <i>a</i>_i — расстояние от вершины <i>A</i>_iдо прямой <i>l</i>, <i>b</i>_i — расстояние от точки касания стороны <i>A</i>_i<i>A</i>_{i + 1}с окружностью до прямой <i>l</i>. Докажите, что: а) величина <i>b</i>₁...<i>b</i>_n/(<i>a</i><sub>1</su...

Окружность радиуса <i>r</i>касается сторон многоугольника в точках <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n, причем длина стороны, на которой лежит точка <i>A</i>_i, равна <i>a</i>_i. Точка <i>X</i>удалена от центра окружности на расстояние <i>d</i>. Докажите, что<i>a</i>₁<i>XA</i>₁²+ ... +<i>a</i>_n<i>XA</i>_n²=<i>P</i>(<i>r</i>²+<i>d</i>²), где <i>P</i> — перим...

В 2<i>n</i>-угольнике (<i>n</i>нечетно) <i>A</i>₁...<i>A</i>_2n, описанном около окружности с центром <i>O</i>, диагонали<i>A</i>₁<i>A</i>_{n + 1},<i>A</i>₂<i>A</i>_{n + 2},...,<i>A</i>_{n - 1}<i>A</i>_{2n - 1}проходят через точку <i>O</i>. Докажите, что и диагональ <i>A</i>_n<i>A</i>_2nпроходит через точку <i>O</i>.

Точка, лежащая внутри описанного <i>n</i>-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

Положительные числа <i>a</i>₁,...,<i>a</i>_nтаковы, что 2<i>a</i>_i<<i>a</i>₁+ ... +<i>a</i>_nпри всех <i>i</i>= 1,...,<i>n</i>. Докажите, что существует вписанный <i>n</i>-угольник, длины сторон которого равны <i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n.

Два <i>n</i>-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.