Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» - сложность 3-5 с решениями
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадВ сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.
В плоскости дан треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>1</sub> соответственно углы α<sub>3</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>. Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub> проводятся прямые, образующие с &l...
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i> ctg <sup>π</sup>/<sub>2<i>n</i></sub>;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно <i>n</i><sup><i>n</i>/2</sup>.
В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>3</sup>/<sub>20</sub>;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>1</sup>/<sub>20</sub>.
Вершины<i>A</i>и<i>B</i>треугольника<i>ABC</i>скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол<i>C</i>не прямой, то вершина<i>C</i>перемещается при этом по эллипсу.
Докажите, что если вершины шестиугольника<i>ABCDEF</i>лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых<i>AB</i>и<i>DE</i>,<i>BC</i>и<i>EF</i>,<i>CD</i>и<i>AF</i>) лежат на одной прямой (Паскаль).
Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.
На плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить ее центр.
Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам.
а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройте<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек, а вершины лежат на <i>n</i>данных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).
а) Даны прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>вне ее. Циркулем и линейкой постройте на <i>l</i>отрезок<i>XY</i>данной длины, который виден из <i>P</i>под данным углом $\alpha$. б) Даны две прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i><sub>1</sub>точку <i>X</i>и на прямой <i>l</i><sub>2</sub>точку <i>Y</i>так, что отрезок<i>XY</i>виден из точки <i>P</i>под данным углом $\alpha$, а из точки <i>Q</i> — под данным углом $\beta$.
Даны окружность <i>S</i>и две хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на<i>CD</i>отрезок а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>хорды<i>CD</i>.
Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.
Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на прямых <i>a</i>и <i>b</i>соответственно, а точка <i>P</i>не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через <i>P</i>прямую, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>соответственно таких, что длины отрезков<i>AX</i>и <i>BY</i>имеют а) данное отношение; б) данное произведение.