Задача
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Решение
Решение 1: Рассмотрим описанные окружности данных пятиугольников. Они пересекаются в общей вершине O и в некоторой другой точке P. Докажем, что все рассматриваемые прямые проходят через точку P. Пусть X и X' – вершины пятиугольника с одинаковыми номерами. Пусть X и X' расположены по одну сторону от прямой OP (другой случай рассматривается аналогично). Тогда угловые величины дуг XO и X'O равны, поэтому ∠OPX = ∠OPX'. Следовательно, прямая XX' проходит через точку P.
Решение 2: Докажем более общее
Утверждение. Пусть на окружности S взята точка O, H – поворотная гомотетия с центром O. Тогда все прямые XX', где X – точка окружности S и
X' = H(X), пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть P – точка пересечения прямых XX' и YY'. Согласно задаче 158020 точки O, P, X и Y лежат на одной окружности и точки O, P, X' и Y' тоже лежат на одной окружности. Следовательно, P – точка пересечения окружностей S и H(S), то есть все прямые XX' проходят через точку пересечения окружностей S и H(S), отличную от точки O.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь