Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» - сложность 2 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Найдите уравнение гиперболы Енжабика в трилинейных коордитнатах.

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?

Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>построены равнобедренные треугольники<i>AC</i>₁<i>B</i>,<i>BA</i>₁<i>C</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>с углом при основании$\varphi$(все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ($\varphi$=$\pi$/2), центр масс ($\varphi$= 0), точки Торричелли ($\varphi$= ±$\pi$/3), вер...

Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр<i>O</i>описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника. б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.

Дан треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, не проходящая через его вершины. а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанную окружность треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается описанной окружности; гиперболой если<i>l</i>пресекает описанную окружность в двух точках. б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается эллипса Штейнера; гиперболой если<i>l</i>пресекает эллипс Штейнера в двух точках.

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением<div align="CENTER"> <i>p</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + <i>q</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + <i>r</i>$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0. </div>Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты<div align="CENTER"> $\displaystyle \bigl($<i>r</i>(<i>p</i> + <i>q</i> - <i>r</i>) : <i>q</i>(<i>p</i> + <i>r</i> - <i>q</i>) : <i>p</i>(<i>r</i> + <i>q</i> - <i>p</i>)$\displaystyle \bigr)$. </div>

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>pxy</i> + <i>qxz</i> + <i>rzy</i> = 0. </div> б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>px</i>² + <i>qy</i>² + <i>rz</i>² = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$<i>xy</i>±$\displaystyle \sqrt{pr}$<i>xz</i>±$\displaystyle \sqrt{qr}$<i>yz</i>). </div>

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Пусть$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$— рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158538">31.071</a>. Докажите, что степень каждого из многочленов<i>A</i>,<i>P</i>,<i>Q</i>не превосходит 2.

Постройте рациональную параметризацию окружности<i>x</i>²+<i>y</i>²= 1, проведя прямые через точку (1, 0).

Докажите, что для любой коники можно выбрать многочлены<i>A</i>(<i>t</i>),<i>P</i>(<i>t</i>) и<i>Q</i>(<i>t</i>) так, что при изменении<i>t</i>от -$\infty$до +$\infty$точки$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$заметают всю данную конику, кроме, быть может, одной точки.