Фиксируем на данной конике точку (x₀,y₀). Для фиксированногоtрассмотрим прямуюy=y₀+t(x-x₀). Эта прямая проходит через точку (x₀,y₀). Найдём остальные точки пересечения прямой и коники (как мы сейчас выясним, почти всегда прямая пересекает конику еще ровно в одной точке). Подставим выражениеy=y₀+t(x-x₀) в уравнение коники. В результате получим уравнение видаA(t)x²+B(t)x+C(t) = 0, гдеA(t),B(t),C(t) — многочлены; напримерA(t) =ct²+a. Точки пересечения рассматриваемой прямой и коники соответствуют корням полученного квадратного уравнения. Одну точку пересечения мы знаем — это фиксированная точка (x₀,y₀). Поэтому уравнениеA(t)x²+B(t)x+C(t) = 0 имеет кореньx₀. Второй корень мы находим по теореме Виета:x₁= -x₀-${\frac{B(t)}{A(t)}}$=${\frac{P(t)}{A(t)}}$; здесьP(t) — снова многочлен. Далее,y=y₀+t$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)}-x_0}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$-x₀$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)}-x_0}\right)$=${\frac{Q(t)}{A(t)}}$, гдеQ(t) — многочлен. Мы получили взаимно однозначное соответствие между точками коники и параметромt(тангенсом угла наклона прямой) за исключением некоторых особых случаев.

1. Вертикальная прямая может пересекать конику, но ей не соответствует никакой конечный параметрt(можно считать, что ей соответствуетt= ±$\infty$).
2. Для исключительных значений параметраtкоэффициентA(t) =ct²+aможет обращаться в нуль. В таком случае квадратное уравнение превращается в линейное уравнение, у которого нет второго корня. В этом случае прямая пересекает конику лишь в одной точке (можно считать, что вторая точка пересечения бесконечно удаленная). Отметим, что совпадение корней квадратного уравнения соответствует тому, что рассматриваемая прямая — касательная к конике.

Ответ задачи отсутствует