Задача
Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.
Решение
Пусть точкиA,B,Cне лежат на одной прямой. Достаточно доказать, что имеется лишь конечное число точекP, расстояния от которых доA,BиC-- целые числа. Пустьk— наибольшее из чиселABиBC. Тогда|PA-PB|$\le$AB$\le$k. Геометрическим местом точекP, для которых |PA-PB| =d, является гипербола с фокусамиAиB. Так как0$\le$d$\le$k, точкаPрасположена на одной изk+ 1 гипербол с фокусамиAиB(одна из этих гипербол вырождается в прямую). Аналогично точкаPрасположена на одной изk+ 1 гипербол с фокусамиBиC. Поскольку две гиперболы имеют не более четырёх общих точек (задача 31.074), а гиперболы с общими фокусами вообще не имеют общих точек, то всего имеется не более 4(k+ 1)2точек пересечения гипербол.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь