Задача
а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида
pxy + qxz + rzy = 0.
б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон
треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида
px2 + qy2 + rz2 = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$xy±$\displaystyle \sqrt{pr}$xz±$\displaystyle \sqrt{qr}$yz).
Решение
Пусть коника задана уравнением
px2 + qy2 + rz2 + sxy + txz + uyz = 0.1)
Эта коника проходит через точку (1, 0, 0) тогда и только тогда, когдаp= 0.
Коника (1) касается прямойx= 0 тогда и только тогда, когда выражениеqy2+rz2+uyzявляется полным квадратом, т.е.u= ±2$\sqrt{qr}$.
Замечание 1.
Уравнение эллипса касающегося всех сторон треугольника, можно записать в виде
p1$\displaystyle \sqrt{x}$ + q1$\displaystyle \sqrt{y}$ + r1$\displaystyle \sqrt{z}$ = 0,
гдеp1=$\sqrt[4]{p}$и т.д.
Замечание 2.
В барицентрических координатах уравнения вписанной и описанной коники имеют
такой же вид (хотя сами коэффициенты будут другими).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет