Задача
Дан треугольникABCи прямаяl, не проходящая через его вершины. а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямойl, является эллипсом, еслиlне пересекает описанную окружность треугольникаABC; параболой еслиlкасается описанной окружности; гиперболой еслиlпресекает описанную окружность в двух точках. б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямойl, является эллипсом, еслиlне пересекает описанный эллипс Штейнера треугольникаABC; параболой еслиlкасается эллипса Штейнера; гиперболой еслиlпресекает эллипс Штейнера в двух точках.
Решение
а) При изогональном сопряжении описанная окружность переходит в бесконечно удалённую прямую (задача 2.90). Поэтому количество точек пересечения образа прямойlпри изогональном сопряжении равно количеству точек пересечения прямойlс описанной окружностью. Ясно также, что коника является эллипсом, если она не пересекает бесконечно удалённую прямую; параболой — если касается; гиперболой — если пересекает в двух точках. б) Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее треугольникABCв правильный треугольникA'B'C'. Для правильного треугольника изотомическое сопряжение одновременно является изогональным сопряжением. Ясно также, что изотомическое сопряжение инвариантно относительно аффинных преобразований. Поэтому задача б) следует из задачи а).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь