Задачи и олимпиады по математике

Задача

На сторонахAB,BCиCAтреугольникаABCпостроены равнобедренные треугольникиAC₁B,BA₁C,AB₁Cс углом при основании$\varphi$(все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямыеAA₁,BB₁иCC₁пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ($\varphi$=$\pi$/2), центр масс ($\varphi$= 0), точки Торричелли ($\varphi$= ±$\pi$/3), вершины треугольника ($\varphi$= -$\alpha$, -$\beta$, -$\gamma$).

Решение

Будем считать, что0 <$\varphi$<$\pi$/2 в случае треугольников, построенных внешним образом, и-$\pi$/2 <$\varphi$< 0 в случае треугольников, построенных внутренним образом. ТочкаC₁имеет трилинейные координаты$\bigl($sin($\beta$+$\varphi$) : sin($\alpha$+$\varphi$) : - sin$\varphi$$\bigr)$, поэтому прямаяCC₁задается уравнениемxsin($\alpha$+$\varphi$) =ysin($\beta$+$\varphi$). Таким образом, точка с трилинейными координатами

$\displaystyle \bigl($sin($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \varphi$)sin($\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \varphi$) : sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \varphi$)sin($\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \varphi$) : sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \varphi$)sin($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \varphi$)$\displaystyle \bigr)$

является точкой пересечения прямыхAA₁,BB₁иCC₁. Нужно проверить, что изогонально сопряженная ей точка$\bigl($sin($\alpha$+$\varphi$) : sin($\beta$+$\varphi$) : sin($\gamma$+$\varphi$)$\bigr)$лежит на прямойOK, т.е.

bc(b² - c²)(sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \varphi$ + cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \varphi$) + ... = 0.

Ноbc(b²-c²)sin$\alpha$+ ... = 0 иbc(b²-c²)cos$\alpha$+ ... = 0, поскольку точкиKиOлежат на рассматриваемой прямой.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления