Задача
На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?
Решение
а) Пусть O – центр правильного пятиугольника ABCDE. Тогда круги, вписанные в углы AOC, BOD, COE, DOA и EOB, обладают требуемым свойством. б) Рассмотрим для каждого из четырёх кругов угол, образованный касательными к нему, проходящими через точку O. Так как каждый из этих четырёх углов меньше 180°, в сумме они дают меньше 2·360°. Поэтому найдётся точка плоскости, покрытая не более чем одним из этих углов. Луч, проведённый через эту точку, пересекает не более одного круга.
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь