Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса - сложность 5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точка <i>M</i>, лежащая на окружности и не лежащая на прямой <i>l</i>. Пусть<i>P</i>_M — проектирование прямой<i>l</i>на данную окружность из точки<i>M</i>(точка <i>X</i>прямой отображается в отличную от <i>M</i>точку пересечения прямой<i>XM</i>с окружностью),<i>R</i> — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция<i>P</i>_M^-1<tt>o</tt><i>R</i><tt>o</tt><i>P</i>_Mявляется прое...

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точки <i>M</i>,<i>N</i>, лежащие на окружности и не лежащие на прямой <i>l</i>. Рассмотрим отображение <i>P</i>прямой <i>l</i>на себя, являющееся композицией проектирования прямой <i>l</i>на данную окружность из точки <i>M</i>и проектирования окружности на прямую <i>l</i>из точки <i>N</i>. (Если точка <i>X</i>лежит на прямой <i>l</i>, то<i>P</i>(<i>X</i>) есть пересечение прямой<i>NY</i>с прямой <i>l</i>, где <i>Y</i> — отличная от <i>M</i>точка пересечения прямой<i>MX</i>с данной окружностью.) Докажите, что преобразование <i&gt...

Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.

Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.

Точки<i>Z</i>и<i>W</i>изогонально сопряжены относительно правильного треугольника<i>ABC</i>с центром<i>O</i>;<i>M</i> — середина отрезка<i>ZW</i>. Докажите, что$\angle$<i>AOZ</i>+$\angle$<i>AOW</i>+$\angle$<i>AOM</i>=<i>n</i>$\pi$(углы ориентированы).

Точки<i>Z</i>и<i>W</i>изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки<i>Z</i>и<i>W</i>переходят в<i>Z</i>и<i>W</i>. Докажите, что середина отрезка<i>Z</i><i>W</i>лежит на вписанной окружности.

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки<i>z</i>и<i>w</i>изогонально сопряжены, то<i>z</i>+<i>w</i>+<i>abc</i>$\bar{z}$$\bar{w}$=<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>(Морли).

На сторонах выпуклого<i>n</i>-угольника внешним образом построены правильные<i>n</i>-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный<i>n</i>-угольник тогда и только тогда, когда исходный<i>n</i>-угольник аффинно правильный.

На сторонах аффинно правильного многоугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nс центром<i>O</i>внешним образом построены квадраты<i>A</i>_{j + 1}<i>A</i>_j<i>B</i>_j<i>C</i>_{j + 1}(<i>j</i>= 1,...,<i>n</i>). Докажите, что отрезки<i>B</i>_j<i>C</i>_jи<i>OA</i>_jперпендикулярны, а их отношение равно2$\bigl($1 - cos(2$\pi$/<i>n</i>)$\bigr)$.

Дан не равносторонний треугольник<i>ABC</i>. Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁выбраны так, что треугольники<i>BA</i>₁<i>C</i>,<i>CB</i>₁<i>A</i>и<i>AC</i>₁<i>B</i>собственно подобны. Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом120^<tt>o</tt>при вершинах<i>A</i&gt...

а) Даны точка<i>X</i>и треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$^.$\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$^.$\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$^.$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1, </div>где<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c<...

Во вписанном четырёхугольнике<i>ABCD</i>прямая Симсона точки<i>A</i>относительно треугольника<i>BCD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>BCD</i>. Докажите, что прямая Симсона точки<i>B</i>относительно треугольника<i>ACD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>ACD</i>.

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, проходящая через центр<i>O</i>вписанной окружности. Обозначим через<i>A</i>₁(соответственно<i>B</i>₁,<i>C</i>₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую<i>l</i>из точки<i>A</i>(соответственно<i>B</i>,<i>C</i>), а через<i>A</i>₂(соответственно<i>B</i>₂,<i>C</i>₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной<i>BC</i>(соответственно<i>CA</i>,<i>AB</i>). Докажите, что прямы...

Докажите, что если<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i> — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>, а<i>m</i>и<i>n</i> — длины его диагоналей, то<i>m</i>²<i>n</i>²=<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>d</i>²- 2<i>abcd</i>cos(<i>A</i>+<i>C</i>) (Бретшнейдер).

а) Докажите, что если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i> — произвольные точки плоскости, то<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>$\ge$<i>AC</i>^.<i>BD</i>(<i>неравенство Птолемея</i>). б) Докажите, что если<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...<i>A</i>₆ — произвольные точки плоскости, то<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6+{}\\vspace{1\relax } +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5...

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что<i>L</i> — аффинное преобразование.

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда<i>L</i> — аффинное преобразование.

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

На плоскости даны три вектора<b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>, причем$\alpha$<b>a</b>+$\beta$<b>b</b>+$\gamma$<b>c</b>= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$\alpha$|, |$\beta$|, |$\gamma$| можно составить треугольник.

Докажите, что любой выпуклый шестиугольник<i>ABCDEF</i>, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>.

Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

Докажите, что если <i>M'</i>и <i>N'</i> — образы многоугольников <i>M</i>и <i>N</i>при аффинном преобразовании, то отношение площадей <i>M</i>и <i>N</i>равно отношению площадей <i>M'</i>и <i>N'</i>.

Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.