Задача
ТочкиZиWизогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точкиZиWпереходят вZиW. Докажите, что середина отрезкаZWлежит на вписанной окружности.
Решение
Расположим данный правильный треугольник на комплексной плоскости так, чтобы центр его описанной окружности оказался в нуле и радиус описанной окружности был равен 1. Пустьzиw — комплексные числа, соответствующие точкамZиW. Согласно задаче 29.32.1z+w+$\bar{z}$$\bar{w}$= 0, т. е.$\bar{z}$+$\bar{w}$= -zw. Ясно, чтоz= - 1/$\bar{z}$иw= - 1/$\bar{w}$. Следовательно,
$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(z + w) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\bar z}+\frac{1}{\bar w}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\bar z}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\bar w}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\bar z}+\frac{1}{\bar w}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle {\frac{\bar z+\bar w}{\bar z\bar w}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle {\frac{z}{\bar z}}$$\displaystyle {\frac{w}{\bar w}}$.
модуль этого числа равен${\frac{1}{2}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет