Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Даны точкаXи треугольникABC. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$^.$\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$^.$\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$^.$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1,

гдеa,b,c — длины сторон треугольника. б) На сторонахBC,CA,ABвзяты точкиA₁,B₁,C₁. Пустьa,b,c — длины сторон треугольникаABC,a₁,b₁,c₁ — длины сторон треугольникаA₁B₁C₁,S — площадь треугольникаABC. Докажите, что

4S²$\displaystyle \le$a²b₁c₁ + b²a₁c₁ + c²a₁b₁.

Решение

а) Расположим треугольникABCна комплексной плоскости так, чтобы точкаXсовпала с нулем. Пусть$\alpha$,$\beta$,$\gamma$ — комплексные числа, соответствующие вершинам треугольника. Требуемое неравенство следует из тождества

$\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha-\gamma}}$^.$\displaystyle {\frac{\gamma}{\alpha-\beta}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{\alpha-\beta}}$^.$\displaystyle {\frac{\alpha}{\beta-\gamma}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{\gamma-\beta}}$^.$\displaystyle {\frac{\beta}{\gamma-\alpha}}$ = 1.

б) Описанные окружности треугольниковAB₁C₁,A₁BC₁иA₁B₁Cпересекаются в некоторой точкеX(задача 2.80, а)). ПустьR_a,R_b,R_c -- радиусы этих окружностей,R — радиус описанной окружности треугольникаABC. Тогда

$\begin{multline*} a^2b_1c_1+b^2a_1c_1+c^2a_1b_1= 8R\sin A\sin B\sin C(aR_bR_c+bR_cR_b+cR_aR_b)=\\ = \frac{4S}{R}(aR_bR_c+bR_cR_b+cR_aR_b). \end{multline*}$

Ясно, что2R_a$\ge$XA,2R_b$\ge$XB,2R_c$\ge$XC. Поэтому

$\begin{multline*} \frac{4S}{R}(aR_bR_c+bR_cR_b+cR_aR_b) \ge \\ \ge \frac{abcS}... ... \frac{XA}{a}\cdot\frac{XB}{b}\right)\ge \frac{abcS}{R}=4S^2. \end{multline*}$

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления