Задачи и олимпиады по математике

Задача

Даны треугольникABCи прямаяl, проходящая через центрOвписанной окружности. Обозначим черезA₁(соответственноB₁,C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямуюlиз точкиA(соответственноB,C), а черезA₂(соответственноB₂,C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со сторонойBC(соответственноCA,AB). Докажите, что прямыеA₁A₂,B₁B₂,C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Решение

Обозначим черезA₃(соответственноB₃,C₃) отличную отA₂(соответственноB₂,C₂) точку пересечения прямойA₁A₂(соответственноB₁B₂,C₁C₂) со вписанной окружностью. Нужно доказать, что эти три точки совпадают. Расположим треугольникABCна комплексной плоскости так, чтобы вписанная окружность совпала с единичной окружностью с центром в нуле, а прямаяl — с вещественной осью. Пустьa,b,c — точки касания вписанной окружности со сторонамиBC,CA,ABсоответственно. Тогда согласно задаче 29.22.1A= 2bc/(b+c). ПоэтомуA₁=$\Re$A= (A+$\bar{A}$)/2 =bc/(b+c) +$\bar{b}$$\bar{c}$/($\bar{b}$+$\bar{c}$). Но

$\displaystyle {\frac{\bar b\bar c}{\bar b+\bar c}}$ = $\displaystyle {\frac{b\bar b\bar c+\bar bc\bar c}{(b+c)(\bar b+\bar c)}}$ = $\displaystyle {\frac{\vert b\vert^2\bar c+\vert c\vert^2\bar b}{(b+c)(\bar b+\bar c)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{b+c}}$.

Значит,A₁=bc/(b+c) + 1/(b+c) = (1 +bc)/(b+c). Ясно, чтоA₂= -a. Поэтому согласно задаче 29.23

A₃ = $\displaystyle {\frac{1+\frac{1+bc}{b+c}a}{\frac{1+bc}{b+c}+a}}$ = $\displaystyle {\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}}$.

Аналогично доказывается, чтоB₃иC₃тоже равны этому комплексному числу.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления