Задача
Даны прямая l, окружность и точки M,N, лежащие на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим отображение Pпрямой lна себя, являющееся композицией проектирования прямой lна данную окружность из точки Mи проектирования окружности на прямую lиз точки N. (Если точка Xлежит на прямой l, тоP(X) есть пересечение прямойNYс прямой l, где Y — отличная от Mточка пересечения прямойMXс данной окружностью.) Докажите, что преобразование Pпроективно.
Решение
Согласно задаче 30.6нам достаточно доказать, что преобразование Pсохраняет двойное отношение четверки точек. Пусть A,B,C,D — произвольные точки прямой l. Обозначим через A',B',C',D'их образы при преобразовании P, а через a,b,c,dи a',b',c',d' — прямыеMA,MB,MC,MDи NA',NB',NC',ND'соответственно. Тогда согласно задаче 30.2, a)(ABCD) = (abcd) и (A'B'C'D') = (a'b'c'd'), а по теореме о вписанном угле$\angle$(a,c) =$\angle$(a',c'),$\angle$(b,c) =$\angle$(b',c') и т. д., а значит,(abcd)= (a'b'c'd').
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь