а) Утверждение задачи вытекает из следующих свойств комплексных чисел: 1)|zw| = |z| ^. |w|; 2)|z+w|$\le$|z| + |w|. Действительно, еслиa,b,c,d — произвольные комплексные числа, то

Поэтому б) Нужно лишь проверить соответствующее тождество для комплексных чиселa₁, ...,a₆(это тождество получается из написанного в условии неравенства заменой знака$\le$на знак =, и заменой каждого сомножителяA_iA_jна сомножитель (a_i-a_j). в) Нестрогое неравенство|z+w|$\le$|z| + |w| обращается в равенство тогда и только тогда, когда комплексные числаzиwпропорциональны с вещественным положительным коэффициентом пропорциональности. Поэтому, как видно из решения задачи а), неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда число${\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}}$вещественно и положительно, т. е. числоq=${\frac{a-b}{a-d}}$:${\frac{c-b}{c-d}}$вещественно и отрицательно. Числоq — это двойное отношение чиселa,b,c,d. Согласно задаче 29.27, б) оно вещественно тогда и только тогда, когда данные точки лежат на одной окружности. Остается доказать, что если данные точки лежат на одной окружности, тоqотрицательно тогда и только тогда, когда ломанаяabcdнесамопересекающаяся. Последнее условие эквивалентно тому, что точкиbиdлежат на разных дугах, высекаемых точкамиaиc. Отобразим нашу окружность при помощи инверсии на прямую. В решении задачи 29.26показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому еслиa^*,b^*,c^*,d^* — комплексные числа, соответствующие образам наших точек, то их двойное отношение равноq. Рассматривая всевозможные (с точностью до порядка) способы расположения точекa^*,b^*,c^*,d^*на прямой, легко убедиться, чтоq< 0 тогда и только тогда, когда на отрезкеa'c'лежит ровно одна из точекb'иd'. г) Задачу б) можно следующим образом решить с помощью неравенства Птолемея:
Все использованные нестрогие неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда четырехугольникиA₁A₂A₃A₄,A₂A₃A₄A₅,A₁A₃A₅A₆иA₁A₂A₄A₅вписанные. Легко видеть, что это эквивалентно тому, что шестиугольникA₁...A₆вписанный.

Ответ задачи отсутствует