Докажем сначала, что аффинное преобразование L, переводящее данную окружность в себя, переводит диаметрально противоположные точки в диаметрально противоположные. Для этого заметим, что касательная к окружности в точке Aпереходит в прямую, которая в силу взаимной однозначности преобразования Lпересекается с окружностью в единственной точкеL(A), т. е. является касательной в точкеL(A). Поэтому если касательные в точках Aи Bпараллельны (т. е.AB — диаметр), то касательные в точкахL(A) и L(B) тоже параллельны, т. е.L(A)L(B) — тоже диаметр. Фиксируем какой-нибудь диаметрABданной окружности. ПосколькуL(A)L(B) — тоже диаметр, то существует движение P, являющееся поворотом или симметрией, которое переводит Aи Bв L(A) и L(B), а каждую из дуг $\alpha$и $\beta$, на которые точки Aи Bделят данную окружность, — в образ этой дуги при отображении L. Докажем, что отображениеF=P^-1oLявляется тождественным. В самом деле,F(A) =Aи F(B) =B, следовательно, все точки прямойABостаются неподвижными. Поэтому если X — произвольная точка окружности, то касательная в точке Xпересекает прямуюABтам же, где и касательная в точкеX'=F(X), так как точка пересечения остается неподвижной. А поскольку Xи X'лежат на одной и той же из двух дуг $\alpha$или $\beta$, то точка Xсовпадает с точкой X'. Итак,P^-1oL — тождественное преобразование, т. е.L=P.

Ответ задачи отсутствует