Прежде всего заметим, что преобразованиеLвзаимно однозначно отображает любую прямую на некоторую прямую. Действительно, пустьA₁иB₁— образы двух различных точекAиB. Тогда образ любой точки прямойABлежит на прямойA₁B₁. Остается доказать, что еслиC₁— точка прямойA₁B₁, то ее прообразCлежит на прямойAB. Предположим, что точкаCне лежит на прямойAB. Тогда прямыеACиBCразличны, а их образы лежат на прямойA₁B₁. ПустьX— произвольная точка плоскости. Проведем черезXпрямую, пересекающую прямыеACиBCв различных точкахA'иB'. Образы точекA'иB'лежат на прямойA₁B₁, поэтому образ точкиXтоже лежит на прямойA₁B₁. Это противоречит тому, что образом отображенияLслужит вся плоскость. Итак, пустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую прямую в некоторую прямую. Будем последовательно доказывать свойства этого отображения, используя каждый раз то, что было доказано на предыдущих шагах. Доказательство первых 5 шагов уже приведено в решениях задач 29.2- 29.4. Убедитесь самостоятельно, что там нигде не требуется непрерывность. Шаг 1. ОтображениеLпереводит параллельные прямые в параллельные прямые. Шаг 2. Корректно определено действиеLна векторах, т.е. если$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$, то$\overrightarrow{A_1B}{1}^{}$=$\overrightarrow{C_1D}{1}^{}$, гдеA₁,B₁,C₁,D₁— образы точекA,B,C,D. Шаг 3.L( 0) = 0. Шаг 4.L(a+b) =L(a) +L(b). Шаг 5.L(ka) =kL(a) при рациональномk. Для непрерывного отображенияLрешение задачи было бы завершено, поскольку любое действительное числоkможно приблизить рациональными числами. Но если не требовать непрерывности отображения L, то самая трудная часть доказательства только начинается. Пустьa=$\overrightarrow{OA}$иb=$\overrightarrow{OB}$ — базисные векторы. При отображенииLони переходят в векторыa₁=$\overrightarrow{O_1A}{1}^{}$иb₁=$\overrightarrow{O_1B}{1}^{}$. Возьмем на прямыхOAиOBточкиXиY, соответственно. Они переходят в точкиX₁иY₁, лежащие на прямыхO₁A₁иO₁B₁, соответственно. Это означает, чтоL(xa) =$\varphi$(x)a₁иL(yb) =$\psi$(y)b₁, где$\varphi$и$\psi$ — некоторые взаимно однозначные отображения множества действительных чисел в себя. Шаг 6.$\varphi$(t) =$\psi$(t). В самом деле, если$\overrightarrow{OX}$=t $\overrightarrow{OA}$и$\overrightarrow{OY}$=t $\overrightarrow{OB}$, то прямыеXYиABпараллельны, а значит, прямыеX₁Y₁иA₁B₁тоже параллельны, т.е.$\varphi$(t) =$\psi$(t). Мы доказали, чтоL(xa+yb) =$\varphi$(x)a₁+$\varphi$(y)b₁. Остается доказать, что$\varphi$(x) =xдля всех действительныхx. Напомним, что$\varphi$(x) =xпри рациональныхxсогласно шагу 5. Поэтому достаточно доказать, что еслиx<y, то$\varphi$(x) <$\varphi$(y). Шаг 7.$\varphi$(xy) =$\varphi$(x)$\varphi$(y) при всех действительныхx,y. Рассмотрим пропорциональные векторыxa+ybи${\dfrac{x}{y}}$a+b. Их образы$\varphi$(x)a₁+$\varphi$(y)b₁и$\varphi$$\left(\vphantom{\dfrac{x}{y}}\right.$${\dfrac{x}{y}}$$\left.\vphantom{\dfrac{x}{y}}\right)$a₁+b₁тоже пропорциональны, поэтому$\varphi$$\left(\vphantom{\dfrac{x}{y}}\right.$${\dfrac{x}{y}}$$\left.\vphantom{\dfrac{x}{y}}\right)$=${\dfrac{\varphi(x)}{\varphi(y)}}$. В частности,

Ответ задачи отсутствует