ПустьA₁...A_n — исходныйn-угольник, причем его вершины занумерованы против часовой стрелки;B_j — центр правильногоn-угольника, построенного внешним образом на сторонеA_jA_{j + 1}. Будем считать, что точки плоскости отождествлены с комплексными числами. Обозначим черезwкомплексное числоcos(2$\pi$/n) +isin(2$\pi$/n). Умножение наw(соответственно на$\bar{w}$) является поворотом вокруг нуля на угол 2$\pi$/nпротив часовой стрелки (соответственно по часовой стрелке). ТочкаA_jпри повороте вокругB_{j - 1}на угол 2$\pi$/nпротив часовой стрелки переходит в точкуA_{j - 1}, а при повороте вокругB_jпо часовой стрелке — в точкуA_{j + 1}. Поэтому имеют место равенства

для всехj= 1,...,n(здесь и далее мы будем считать, чтоA₀=A_nиA_{n + 1}=A₁). Следовательно,Сложим эти равенства. Учитывая, чтоw- 1 = -w($\bar{w}$- 1), получимдля всехj= 1,...,n. МногоугольникB₁B₁...B_nявляется правильным тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, чтоB_j=wB_{j - 1}для всехj= 1,...,n, т. е. при всехjлевая часть (1) равна нулю. С другой стороны, согласно задаче 29.8.1многоугольникA₁A₂...A_nаффинно правильный тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, чтоcos(2$\pi$/n)A_j=A_{j - 1}+A_{j + 1}для всехj= 1,...,n. Посколькуw+$\bar{w}$= cos(2$\pi$/n), последнее условие эквивалентно тому, что правая часть (1) равна нулю.

Ответ задачи отсутствует