Пусть точкиA,B,C,A₁,B₁иC₁соответствуют комплексным числамa,b,c,a₁,b₁иc₁. Из того, что треугольникиBA₁C,CB₁AиAC₁Bсобственно подобны, следует, чтоa₁=b+ (c-b)z,b₁=c+ (a-c)zиc₁=a+ (b-a)zдля некоторого комплексного числаz. Поэтому

Согласно задаче 29.26B б) треугольникA₁B₁C₁равносторонний тогда и только тогда, когда выражение в левой части этого равенства обращается в нуль. ТреугольникABCне равносторонний, поэтому обращаться в нуль должно выражение 3z²- 3z+ 1. Для равнобедренного треугольника с углом120^oимеемz₀=${\frac{1}{2}}$±${\frac{i}{2\sqrt3}}$. Легко проверить, чтоz₀²-z₀= -${\frac{1}{3}}$. (Разные знаки в выражении дляz₀соответствуют треугольникам, построенным на сторонах треугольника внешним и внутренним образом.)

Ответ задачи отсутствует