Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 10 класса

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Найдите уравнение гиперболы Енжабика в трилинейных коордитнатах.

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся

  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;

  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше &frac15;;

  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>построены равнобедренные треугольники<i>AC</i>₁<i>B</i>,<i>BA</i>₁<i>C</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>с углом при основании$\varphi$(все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ($\varphi$=$\pi$/2), центр масс ($\varphi$= 0), точки Торричелли ($\varphi$= ±$\pi$/3), вер...

Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр<i>O</i>описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника. б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.

Дан треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, не проходящая через его вершины. а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанную окружность треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается описанной окружности; гиперболой если<i>l</i>пресекает описанную окружность в двух точках. б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается эллипса Штейнера; гиперболой если<i>l</i>пресекает эллипс Штейнера в двух точках.

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением<div align="CENTER"> <i>p</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + <i>q</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + <i>r</i>$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0. </div>Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты<div align="CENTER"> $\displaystyle \bigl($<i>r</i>(<i>p</i> + <i>q</i> - <i>r</i>) : <i>q</i>(<i>p</i> + <i>r</i> - <i>q</i>) : <i>p</i>(<i>r</i> + <i>q</i> - <i>p</i>)$\displaystyle \bigr)$. </div>

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>pxy</i> + <i>qxz</i> + <i>rzy</i> = 0. </div> б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>px</i>² + <i>qy</i>² + <i>rz</i>² = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$<i>xy</i>±$\displaystyle \sqrt{pr}$<i>xz</i>±$\displaystyle \sqrt{qr}$<i>yz</i>). </div>

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Пусть$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$— рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158538">31.071</a>. Докажите, что степень каждого из многочленов<i>A</i>,<i>P</i>,<i>Q</i>не превосходит 2.