Задача
Внутри выпуклого многоугольника A1...Anвзята точка O. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине Ak,xk=OAk,dk — расстояние от точки Oдо прямой AkAk + 1. Докажите, что $\sum$xksin($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$$\sum$dkи $\sum$xkcos($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$p, где p — полупериметр многоугольника.
Решение
Пусть $\beta_{k}^{}$=$\angle$OAkAk + 1. Тогдаxksin$\beta_{k}^{}$=dk=xk + 1sin($\alpha_{k+1}^{}$-$\beta_{k+1}^{}$). Поэтому 2$\sum$dk=$\sum$xk(sin($\alpha_{k}^{}$-$\beta_{k}^{}$) + sin$\beta_{k}^{}$) = 2$\sum$xksin($\alpha_{k}^{}$/2)cos($\alpha_{k}^{}$/2 -$\beta_{k}^{}$)$\leq$2$\sum$xksin($\alpha_{k}^{}$/2). Ясно также, что AkAk + 1=xkcos$\beta_{k}^{}$+xk + 1cos($\alpha_{k+1}^{}$-$\beta_{k+1}^{}$). Поэтому 2p=$\sum$AkAk + 1=$\sum$xk(cos($\alpha_{k}^{}$-$\beta_{k}^{}$) + cos$\beta_{k}^{}$) = 2$\sum$xkcos($\alpha_{k}^{}$/2)cos($\alpha_{k}^{}$/2 -$\beta_{k}^{}$)$\leq$2$\sum$xkcos($\alpha_{k}^{}$/2). В обоих случаях равенство достигается, только если $\alpha_{k}^{}$= 2$\beta_{k}^{}$, т. е. O — центр вписанной окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь