Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Четырехугольник»
параграф 9. Четырехугольник
НазадДан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
В параллелограмм <i>P</i><sub>1</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub>, а в параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>3</sub>, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i><sub>1</sub>. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i><sub>1</sub> не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i><sub>3</sub>.
Отрезок <i>KL</i>проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника <i>ABCD</i>, а концы его лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>KL</i>не превосходит длины одной из диагоналей.
Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.
Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i><sub>ABCD</sub>.
Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ABCD</sub>< 4<i>S</i><sub>AMN</sub>.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.
Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.
В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.
В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.