Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон»

Внутри выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>площади <i>S</i>взята точка <i>O</i>, причем <i>AO</i>²+<i>BO</i>²+<i>CO</i>²+<i>DO</i>²= 2<i>S</i>. Докажите, что тогда <i>ABCD</i> — квадрат и <i>O</i> — его центр.

В окружность радиуса <i>R</i>вписан многоугольник площади <i>S</i>, содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами в выбранных точках не меньше 2<i>S</i>/<i>R</i>.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что 4<i>S</i>$\leq$<i>AM</i>^.<i>BC</i>+<i>BM</i>^.<i>AC</i>+<i>CM</i>^.<i>AB</i>, где <i>S</i> — площадь треугольника <i>ABC</i>.

Периметр выпуклого четырехугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.

Пусть <i>E</i>,<i>F</i>,<i>G</i>и <i>H</i> — середины сторон <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABCD$\leq$<i>EG</i>^.<i>HF</i>$\le$(<i>AB</i>+<i>CD</i>)(<i>AD</i>+<i>BC</i>)/4.

Дан треугольник площади 1 со сторонами <i>a</i>$\leq$<i>b</i>$\leq$<i>c</i>. Докажите, что <i>b</i>$\geq$$\sqrt{2}$.