Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медиана треугольника»
параграф 1. Медиана треугольника
НазадНа столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>не лежат на одной прямой. Пусть две разные точки <i>P</i>и <i>Q</i>обладают тем свойством, что <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>+ ... +<i>A</i><sub>n</sub><i>P</i>=<i>A</i><sub>1</sub><i>Q</i>+ ... +<i>A</i><sub>n</sub><i>Q</i>=<i>s</i>. Докажите, что тогда <i>A</i><sub>1</sub><i>K</i>+ ... +<i>A</i><sub>n</sub><i>K</i><<i>s</i>для некоторой точки <i>K</i>.
Даны <i>n</i>точек <i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку <i>M</i>так, что <i>MA</i><sub>1</sub>+ ... +<i>MA</i><sub>n</sub>$\geq$<i>n</i>.
Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.
Докажите, что (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2 <<i>m</i><sub>c</sub>< (<i>a</i>+<i>b</i>)/2, где<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника,<i>m</i><sub>c</sub>- медиана к стороне<i>c</i>.