Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника»

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>²<i>b</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) + <i>b</i>²<i>c</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>c</i>²<i>a</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) $\displaystyle \geq$ 0. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i> - <i>c</i>)(<i>a</i> - <i>b</i> + <i>c</i>)(- <i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i>) $\displaystyle \leq$ <i>abc</i>. </div>

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Пусть <i>p</i>=${\frac{a}{b}}$+${\frac{b}{c}}$+${\frac{c}{a}}$и <i>q</i>=${\frac{a}{c}}$+${\frac{c}{b}}$+${\frac{b}{a}}$. Докажите, что |<i>p</i>-<i>q</i>| < 1.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>(<i>b</i> - <i>c</i>)² + <i>b</i>(<i>c</i> - <i>a</i>)² + <i>c</i>(<i>a</i> - <i>b</i>)² + 4<i>abc</i> > <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³. </div>

При любом натуральном <i>n</i>из чисел <i>a</i>ⁿ,<i>b</i>ⁿи <i>c</i>ⁿможно составить треугольник. Докажите, что среди чисел <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>есть два равных.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²< 2(<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>).

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что <i>a</i>=<i>y</i>+<i>z</i>,<i>b</i>=<i>x</i>+<i>z</i>и <i>c</i>=<i>x</i>+<i>y</i>, где <i>x</i>,<i>y</i>и <i>z</i> — положительные числа.