Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» - сложность 4 с решениями

В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.

Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?

а) Выпуклые многоугольники <i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>B</i>₁...<i>B</i>_nтаковы, что все их соответственные стороны, кроме <i>A</i>₁<i>A</i>_nи <i>B</i>₁<i>B</i>_n, равны и $\angle$<i>A</i>₂$\geq$$\angle$<i>B</i>₂,...,$\angle$<i>A</i>_{n - 1}$\geq$$\angle$<i>B</i>_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что <i>A</i>₁<i>A</...

Докажите, что при <i>n</i>$\geq$7 внутри выпуклого <i>n</i>-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Внутри правильного многоугольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_nвзята точка <i>O</i>. Докажите, что по крайней мере один из углов <i>A</i>_i<i>OA</i>_jудовлетворяет неравенствам $\pi$(1 - 1/<i>n</i>)$\leq$$\angle$<i>A</i>_i<i>OA</i>_j$\leq$$\pi$.

Правильный 2<i>n</i>-угольник <i>M</i>₁со стороной <i>a</i>лежит внутри правильного 2<i>n</i>-угольника <i>M</i>₂со стороной 2<i>a</i>. Докажите, что многоугольник <i>M</i>₁содержит центр многоугольника <i>M</i>₂.

Внутри выпуклого многоугольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_nвзята точка <i>O</i>. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине <i>A</i>_k,<i>x</i>_k=<i>OA</i>_k,<i>d</i>_k — расстояние от точки <i>O</i>до прямой <i>A</i>_k<i>A</i>_{k + 1}. Докажите, что $\sum$<i>x</i>_ksin($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$$\sum$<i>d</i>_kи $\sum$<i>x</i>_kcos($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$<i>p</i>, где <i>p</i&g...

Плоский многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nсоставлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.

Семиугольник <i>A</i>₁...<i>A</i>₇вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах <i>A</i>₁,<i>A</i>₃,<i>A</i>₅меньше 450^<tt>o</tt>.

Отрезок <i>KL</i>проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника <i>ABCD</i>, а концы его лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>KL</i>не превосходит длины одной из диагоналей.

Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная <i>L</i>, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от <i>L</i>не больше чем на 0, 5. Докажите, что на <i>L</i>есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по <i>L</i>между ними не меньше 198.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено <i>n</i>²точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2<i>n</i>.

В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной <i>L</i>. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на $\varepsilon$. Докажите, что тогда <i>L</i>$\geq$${\frac{1}{2\varepsilon }}$-${\frac{\pi\varepsilon }{2}}$.

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади <i>S</i>можно поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2<i>S</i>. б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади <i>S</i>можно вписать параллелограмм площади не менее <i>S</i>/2.

Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади $\sqrt{3}$.

Докажите, что площадь треугольника, вершины которого лежат на сторонах параллелограмма, не превосходит половины площади параллелограмма.

Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.

а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади <i>S</i>и периметра <i>P</i>можно поместить круг радиуса <i>S</i>/<i>P</i>. б) Внутри выпуклого многоугольника площади <i>S</i>₁и периметра <i>P</i>₁расположен выпуклый многоугольник площади <i>S</i>₂и периметра <i>P</i>₂. Докажите, что 2<i>S</i>₁/<i>P</i>₁><i>S</i>₂/<i>P</i>₂.

В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

Многоугольник площади <i>B</i>вписан в окружность площади <i>A</i>и описан вокруг окружности площади <i>C</i>. Докажите, что 2<i>B</i>$\leq$<i>A</i>+<i>C</i>.

а) В круг площади <i>S</i>вписан правильный <i>n</i>-угольник площади <i>S</i>₁, а около этого круга описан правильный <i>n</i>-угольник площади <i>S</i>₂. Докажите, что <i>S</i>²><i>S</i>₁<i>S</i>₂. б) В окружность, длина которой равна <i>L</i>, вписан правильный <i>n</i>-угольник периметра <i>P</i>₁, а около этой окружности описан правильный <i>n</i>-угольник периметра <i>P</i>₂. Докажите, что <i>L</i>²<<i>P</i><sub>1&...

Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$17, 5.

а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике площади <i>S</i>найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше <i>S</i>/6. б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади <i>S</i>найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше <i>S</i>/8.

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.