Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой»
параграф 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
НазадВыпуклый <i>n</i>-угольник помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три такие вершины <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>этого <i>n</i>-угольника, что площадь треугольника <i>ABC</i>не превосходит: а) 8/<i>n</i><sup>2</sup>; б) 16$\pi$/<i>n</i><sup>3</sup>.
Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.
а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади <i>S</i>можно поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2<i>S</i>. б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади <i>S</i>можно вписать параллелограмм площади не менее <i>S</i>/2.
Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади $\sqrt{3}$.
Докажите, что площадь треугольника, вершины которого лежат на сторонах параллелограмма, не превосходит половины площади параллелограмма.
Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.
а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади <i>S</i>и периметра <i>P</i>можно поместить круг радиуса <i>S</i>/<i>P</i>. б) Внутри выпуклого многоугольника площади <i>S</i><sub>1</sub>и периметра <i>P</i><sub>1</sub>расположен выпуклый многоугольник площади <i>S</i><sub>2</sub>и периметра <i>P</i><sub>2</sub>. Докажите, что 2<i>S</i><sub>1</sub>/<i>P</i><sub>1</sub>><i>S</i><sub>2</sub>/<i>P</i><sub>2</sub>.
В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.
Многоугольник площади <i>B</i>вписан в окружность площади <i>A</i>и описан вокруг окружности площади <i>C</i>. Докажите, что 2<i>B</i>$\leq$<i>A</i>+<i>C</i>.
а) В круг площади <i>S</i>вписан правильный <i>n</i>-угольник площади <i>S</i><sub>1</sub>, а около этого круга описан правильный <i>n</i>-угольник площади <i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что <i>S</i><sup>2</sup>><i>S</i><sub>1</sub><i>S</i><sub>2</sub>. б) В окружность, длина которой равна <i>L</i>, вписан правильный <i>n</i>-угольник периметра <i>P</i><sub>1</sub>, а около этой окружности описан правильный <i>n</i>-угольник периметра <i>P</i><sub>2</sub>. Докажите, что <i>L</i><sup>2</sup><<i>P</i><sub>1&...
Внутри квадрата со стороной 1 даны<i>n</i>точек. Докажите, что: а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или вершинах квадрата не превосходит 1/(2(<i>n</i>+ 1)); б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1/(<i>n</i>- 2).
Выпуклый многоугольник, площадь которого больше 0, 5, помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри многоугольника можно поместить отрезок длины 0, 5, параллельный стороне квадрата.