Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 8 класса
глава 9. Геометрические неравенства
НазадКвадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.
Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.
Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.
В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.
На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
В параллелограмм <i>P</i><sub>1</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub>, а в параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>3</sub>, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i><sub>1</sub>. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i><sub>1</sub> не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i><sub>3</sub>.
Отрезок <i>KL</i>проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника <i>ABCD</i>, а концы его лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>KL</i>не превосходит длины одной из диагоналей.
Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.
Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i><sub>ABCD</sub>.
Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ABCD</sub>< 4<i>S</i><sub>AMN</sub>.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.
Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.
В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.
В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.
Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная <i>L</i>, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от <i>L</i>не больше чем на 0, 5. Докажите, что на <i>L</i>есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по <i>L</i>между ними не меньше 198.
Внутри квадрата со стороной 1 расположено <i>n</i><sup>2</sup>точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2<i>n</i>.
В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной <i>L</i>. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на $\varepsilon$. Докажите, что тогда <i>L</i>$\geq$${\frac{1}{2\varepsilon }}$-${\frac{\pi\varepsilon }{2}}$.
Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.
Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.