Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» - сложность 1 с решениями
глава 9. Геометрические неравенства
НазадНа отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36<sup><tt>o</tt></sup>.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.
В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.
В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.
Дан треугольник площади 1 со сторонами <i>a</i>$\leq$<i>b</i>$\leq$<i>c</i>. Докажите, что <i>b</i>$\geq$$\sqrt{2}$.
В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.
<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>< 2(<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>).
<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что <i>a</i>=<i>y</i>+<i>z</i>,<i>b</i>=<i>x</i>+<i>z</i>и <i>c</i>=<i>x</i>+<i>y</i>, где <i>x</i>,<i>y</i>и <i>z</i> — положительные числа.
Докажите, что (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2 <<i>m</i><sub>c</sub>< (<i>a</i>+<i>b</i>)/2, где<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника,<i>m</i><sub>c</sub>- медиана к стороне<i>c</i>.
Радиусы двух окружностей равны <i>R</i>и <i>r</i>, а расстояние между их центрами равно <i>d</i>. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда |<i>R</i>-<i>r</i>| <<i>d</i><<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что $\angle$<i>ABC</i>> 90<sup><tt>o</tt></sup>тогда и только тогда, когда точка <i>B</i>лежит внутри окружности с диаметром <i>AC</i>.
Докажите, что <i>S</i><sub>ABCD</sub>$\leq$(<i>AB</i><sup> . </sup><i>BC</i>+<i>AD</i><sup> . </sup><i>DC</i>)/2.
Докажите, что <i>S</i><sub>ABC</sub>$\leq$<i>AB</i><sup> . </sup><i>BC</i>/2.