Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 8 класса - сложность 3 с решениями
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадВ сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку <i>O</i>в данную точку <i>O'</i>, а данный базис векторов <b>e</b><sub>1</sub>,<b>e</b><sub>2</sub> — в данный базис <b>e</b><sub>1</sub>',<b>e</b><sub>2</sub>'. б) Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку <i>A</i>в <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i> — в <i>B</i><sub>1</sub>,<i&...
Пусть <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i> — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>при аффинном преобразовании <i>L</i>. Докажите, что если <i>C</i>делит отрезок<i>AB</i>в отношении<i>AC</i>:<i>CB</i>=<i>p</i>:<i>q</i>, то <i>C'</i>делит отрезок<i>A'B'</i>в том же отношении.
Докажите, что если <i>L</i> — аффинное преобразование, то а)<i>L</i>($\overrightarrow{0}$) =$\overrightarrow{0}$; б)<i>L</i>(<b>a</b>+<b>b</b>) =<i>L</i>(<b>a</b>) +<i>L</i>(<b>b</b>); в)<i>L</i>(<i>k</i><b>a</b>) =<i>kL</i>(<b>a</b>).
Докажите, что число неравных треугольников с вершинами в вершинах правильного<i>n</i>-угольника равно ближайшему к <sup><i>n</i>²</sup>/<sub>12</sub> целому числу.
На плоскости дано <i>n</i> > 4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/58316/problem_58316_img_2.gif"> различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.
На прямой даны точки <i>A</i><sub>1</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub>, ..., <i>B</i><sub><i>n</i>–1</sub>. Докажите, что <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_2.gif"> <img width="72" height="99" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_3.gif"> = 1.
Пусть <i>E</i> – точка пересечения боковых сторон <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD, B</i><sub><i>n</i>+1</sub> – точка пересечения прямых <i>A<sub>n</sub>C</i> и <i>BD</i> (<i>A</i><sub>0</sub> = <i>A</i>), <i>A</i><sub><i>n</i>+1</sub> – точка пересечения прямых <i>EB</i><sub><i>n</i>+1</sub> и <i>AB</i>. Докажите, что <i>A<sub>n</sub>B = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i>+1</sub>.
Арена цирка освещается <i>n</i> различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких <i>n</i> это возможно?
Существуют ли на плоскости три такие точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, что для любой точки <i>X</i>длина хотя бы одного из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и <i>XC</i>иррациональна?
Пусть<i>n</i>$\ge$3. Существуют ли <i>n</i>точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?
Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?
На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.
На плоскости дано<i>n</i>точек, причем из любой четверки этих точек можно выбросить одну точку так, что оставшиеся точки будут лежать на одной прямой. Докажите, что из данных точек можно выбросить одну точку так, что все оставшиеся точки будут лежать на одной прямой.
Докажите, что треугольник можно разбить на отрезки.
Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?
а) Докажите, что при<i>n</i>= 2<i>k</i>среди полученных фигур не более 2<i>k</i>- 1 углов. б) Может ли при<i>n</i>= 100 среди полученных фигур быть только три угла?