а) Зададим отображение Lследующим образом. Пусть X — произвольная точка. Поскольку e₁,e₂ — базис, существуют однозначно определенные числа x₁и x₂такие, что$\overrightarrow{OX}$=x₁e₁+x₂e₂. Поставим в соответствие точке Xтакую точкуX'=L(X), что=x₁e₁' +x₂e₂'. Так какe₁',e₂' — тоже базис, полученное отображение взаимно однозначно. (Обратное отображение строится аналогично.) Докажем, что любая прямаяABпри отображении Lпереходит в прямую. ПустьA'=L(A),B'=L(B) и a₁,a₂,b₁,b₂ — координаты точек Aи Bв базисе e₁,e₂, т. е. такие числа, что$\overrightarrow{OA}$=a₁e₁+a₂e₂,$\overrightarrow{OB}$=b₁e₁+b₂e₂. Рассмотрим произвольную точку CпрямойAB. Тогда$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{AB}$при некотором k, т. е.$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+k($\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$) = ((1 -k)a₁+kb₁)e₁+ ((1 -k)a₂+kb₂)e₂. Следовательно, еслиC'=L(C), то= ((1 -k)a₁+kb₁)e₁' + ((1 -k)a₂+kb₂)e₂' =+k(-), т. е. точка C'лежит на прямойA'B'. Единственность отображения Lследует из результата задачи 29.4. В самом деле,L($\overrightarrow{OX}$) =x₁L(e₁) +x₂L(e₂), т. е. образ точки Xоднозначно определяется образами векторов e₁,e₂и точки O. б) Для доказательства можно воспользоваться предыдущей задачей, положивO=A,e₁=$\overrightarrow{AB}$,e₂=$\overrightarrow{AC}$,O'=A₁,e₁' =$\overrightarrow{A_1B_1}$,e₂' =$\overrightarrow{A_1C_1}$. в) Следует из задачи б) и из того. что параллельные прямые переходят в параллельные.

Ответ задачи отсутствует