Задача
Докажите, что если L — аффинное преобразование, то а)L($\overrightarrow{0}$) =$\overrightarrow{0}$; б)L(a+b) =L(a) +L(b); в)L(ka) =kL(a).
Решение
a)L($\overrightarrow{0}$) =L($\overrightarrow{AA}$) =$\overrightarrow{L(A)L(A)}$=$\overrightarrow{0}$. б)L($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$) =L($\overrightarrow{AC}$) =$\overrightarrow{L(A)L(C)}$=$\overrightarrow{L(A)L(B)}$+$\overrightarrow{L(B)L(C)}$=L($\overrightarrow{AB}$) +L($\overrightarrow{BC}$). в) Предположим сначала, что число kцелое. Тогда
L(ka) = L($\displaystyle \underbrace{\boldsymbol{a}+\ldots+\boldsymbol{a}}{k}^{},$) = $\displaystyle \underbrace{L(\boldsymbol{a})+\ldots+L(\boldsymbol{a})}{k}^{},$ = kL(a).
Пусть теперьk=m/n — рациональное число. ТогдаnL(ka) =L(nka) =L(ma) =mL(a), поэтомуL(ka) =mL(a)/n=kL(a). Наконец, если k —
любое действительное число, то всегда найдется последовательность knрациональных чисел, сходящаяся к k(например, последовательность
десятичных приближений k). Поскольку Lнепрерывно, то
L(ka) = L($\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{}$kna) = $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{}$knL(a) = kL(a).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет