Задача
Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких n это возможно?
Решение
Впишем в арену правильный k-угольник, где k = ½ n(n – 1) – число различных пар, которые можно составить из n прожекторов. Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между сегментами, отсекаемыми сторонами k-угольника, и парами прожекторов. Пусть каждый прожектор освещает весь k-угольник и сегменты, соответствующие парам прожекторов, в которые он входит. Легко проверить, что это освещение обладает требуемыми свойствами.
Ответ
При любом n ≥ 2.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь