Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса - сложность 4-5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точка <i>M</i>, лежащая на окружности и не лежащая на прямой <i>l</i>. Пусть<i>P</i>_M — проектирование прямой<i>l</i>на данную окружность из точки<i>M</i>(точка <i>X</i>прямой отображается в отличную от <i>M</i>точку пересечения прямой<i>XM</i>с окружностью),<i>R</i> — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция<i>P</i>_M^-1<tt>o</tt><i>R</i><tt>o</tt><i>P</i>_Mявляется прое...

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точки <i>M</i>,<i>N</i>, лежащие на окружности и не лежащие на прямой <i>l</i>. Рассмотрим отображение <i>P</i>прямой <i>l</i>на себя, являющееся композицией проектирования прямой <i>l</i>на данную окружность из точки <i>M</i>и проектирования окружности на прямую <i>l</i>из точки <i>N</i>. (Если точка <i>X</i>лежит на прямой <i>l</i>, то<i>P</i>(<i>X</i>) есть пересечение прямой<i>NY</i>с прямой <i>l</i>, где <i>Y</i> — отличная от <i>M</i>точка пересечения прямой<i>MX</i>с данной окружностью.) Докажите, что преобразование <i&gt...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.

Докажите, что преобразование <i>P</i>числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, </div>где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — такие числа, что<i>ad</i>-<i>bc</i>$\ne$0. (Такие отображения называют<i>дробно-линейными</i>.)

Дано отображение прямой <i>a</i>на прямую <i>b</i>, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

Докажите, что если(<i>ABCX</i>) = (<i>ABCY</i>), то<i>X</i>=<i>Y</i>(все точки попарно различны, кроме, быть может, точек <i>X</i>и <i>Y</i>, и лежат на одной прямой).

а) Даны прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, проходящие через одну точку, и прямая <i>l</i>, через эту точку не проходящая. Пусть <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения прямой <i>l</i>с прямыми <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>соответственно. Докажите, что(<i>abcd</i>)= (<i>ABCD</i>). б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.

Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.

Точки<i>Z</i>и<i>W</i>изогонально сопряжены относительно правильного треугольника<i>ABC</i>с центром<i>O</i>;<i>M</i> — середина отрезка<i>ZW</i>. Докажите, что$\angle$<i>AOZ</i>+$\angle$<i>AOW</i>+$\angle$<i>AOM</i>=<i>n</i>$\pi$(углы ориентированы).

Точки<i>Z</i>и<i>W</i>изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки<i>Z</i>и<i>W</i>переходят в<i>Z</i>и<i>W</i>. Докажите, что середина отрезка<i>Z</i><i>W</i>лежит на вписанной окружности.

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки<i>z</i>и<i>w</i>изогонально сопряжены, то<i>z</i>+<i>w</i>+<i>abc</i>$\bar{z}$$\bar{w}$=<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>(Морли).

На сторонах выпуклого<i>n</i>-угольника внешним образом построены правильные<i>n</i>-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный<i>n</i>-угольник тогда и только тогда, когда исходный<i>n</i>-угольник аффинно правильный.

На сторонах аффинно правильного многоугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nс центром<i>O</i>внешним образом построены квадраты<i>A</i>_{j + 1}<i>A</i>_j<i>B</i>_j<i>C</i>_{j + 1}(<i>j</i>= 1,...,<i>n</i>). Докажите, что отрезки<i>B</i>_j<i>C</i>_jи<i>OA</i>_jперпендикулярны, а их отношение равно2$\bigl($1 - cos(2$\pi$/<i>n</i>)$\bigr)$.

Дан не равносторонний треугольник<i>ABC</i>. Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁выбраны так, что треугольники<i>BA</i>₁<i>C</i>,<i>CB</i>₁<i>A</i>и<i>AC</i>₁<i>B</i>собственно подобны. Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом120^<tt>o</tt>при вершинах<i>A</i&gt...

а) Даны точка<i>X</i>и треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$^.$\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$^.$\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$^.$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1, </div>где<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c<...

Во вписанном четырёхугольнике<i>ABCD</i>прямая Симсона точки<i>A</i>относительно треугольника<i>BCD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>BCD</i>. Докажите, что прямая Симсона точки<i>B</i>относительно треугольника<i>ACD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>ACD</i>.

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, проходящая через центр<i>O</i>вписанной окружности. Обозначим через<i>A</i>₁(соответственно<i>B</i>₁,<i>C</i>₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую<i>l</i>из точки<i>A</i>(соответственно<i>B</i>,<i>C</i>), а через<i>A</i>₂(соответственно<i>B</i>₂,<i>C</i>₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной<i>BC</i>(соответственно<i>CA</i>,<i>AB</i>). Докажите, что прямы...

Докажите, что если<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i> — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>, а<i>m</i>и<i>n</i> — длины его диагоналей, то<i>m</i>²<i>n</i>²=<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>d</i>²- 2<i>abcd</i>cos(<i>A</i>+<i>C</i>) (Бретшнейдер).